QCM : Suites numériques et sommes géométriques (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un loyer mensuel de 750 € augmente de 3 % à chaque date anniversaire. Si LnL_n désigne le loyer après nn anniversaires, quelle expression donne LnL_n en fonction de nn ?

750×0,97n750\times0{,}97^n
750×(1+0,03n)750\times(1+0{,}03n)
750×1,03n750\times1{,}03^n
750+3n750+3n

$$750\times1{,}03^n$$

Explication

Une hausse de 3 % multiplie le loyer par 1,031{,}03 à chaque anniversaire, d’où le terme général 750×1,03n750\times1{,}03^n. L’ajout de 3 € confond pourcentage et montant fixe, le coefficient 0,970{,}97 correspond à une baisse, et la croissance linéaire ne compose pas les hausses successives.

2. Un loyer suit la progression ℓn=600×1,02n\ell_n=600\times1{,}02^n. Il vaut environ 891,57 € après 20 ans et 909,40 € après 21 ans ; à quel moment dépasse-t-il 900 € ?

Au bout de 21 ans
Au bout de 20 ans
Au bout de 22 ans
Au bout de 19 ans

Au bout de 21 ans

Explication

Après 20 ans, le loyer est inférieur à 900 €, tandis qu’après 21 ans il est supérieur à ce seuil : le dépassement survient donc au bout de 21 ans. Choisir 20 ans revient à ignorer la comparaison avec le seuil, et les autres durées ne correspondent pas aux valeurs indiquées.

3. Une suite géométrique a pour premier terme u0=5u_0=5 et pour raison q=3q=3. Quelle formule permet de calculer la somme de u0u_0 à u4u_4 ?

51−351−35\frac{1-3^5}{1-3}
5+4×35+4\times3
51−341−35\frac{1-3^4}{1-3}
51−351+35\frac{1-3^5}{1+3}

$$5\frac{1-3^5}{1-3}$$

Explication

La somme de u0u_0 à u4u_4 s’obtient avec u01−qn+11−qu_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} ; ici, l’exposant vaut donc 4+1=54+1=5. L’exposant 4 omet un terme, l’expression additive relève d’un calcul inadapté à une suite géométrique, et le dénominateur doit être 1−q1-q.

4. Que représente le coefficient moyen d’évolution obtenu à partir de plusieurs coefficients multiplicateurs successifs ?

Le coefficient multiplicateur égal à la moyenne arithmétique de ces coefficients.
Le coefficient multiplicateur associé à la variation entre les deux valeurs extrêmes seulement.
Le coefficient multiplicateur égal au produit des évolutions exprimées en pourcentages.
Le coefficient multiplicateur unique correspondant à la moyenne géométrique de ces coefficients.

Le coefficient multiplicateur unique correspondant à la moyenne géométrique de ces coefficients.

Explication

La moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs donne le coefficient unique d’évolution moyenne par étape. La moyenne arithmétique ne représente pas généralement l’évolution composée de plusieurs étapes.

5. Quelle relation de récurrence définit la suite affine étudiée, sachant que son terme initial vaut 100 ?

Un+1=0,9Un+6U_{n+1}=0{,}9U_n+6
Un+1=Un+6U_{n+1}=U_n+6
Un+1=Un−6U_{n+1}=U_n-6
Un+1=0,9UnU_{n+1}=0{,}9U_n

$$U_{n+1}=0{,}9U_n+6$$

Explication

La suite étudiée commence par U0=100U_0=100 et chaque nouveau terme est obtenu en multipliant le précédent par 0,90{,}9, puis en ajoutant 6. La relation Un+1=0,9UnU_{n+1}=0{,}9U_n omet l’ajout de 6 et décrirait une suite géométrique.

6. Quel est le rôle de la suite auxiliaire définie par Vn=Un−60V_n=U_n-60 dans l’étude de la suite UnU_n ?

Remplacer la valeur initiale de UnU_n par la valeur de son point fixe.
Exprimer directement la limite de UnU_n sans étudier ses termes successifs.
Transformer la suite UnU_n en une suite arithmétique de raison constante.
Transformer la récurrence affine de UnU_n en une relation géométrique plus simple à étudier.

Transformer la récurrence affine de $$U_n$$ en une relation géométrique plus simple à étudier.

Explication

La soustraction du point fixe 60 donne Vn+1=0,9VnV_{n+1}=0{,}9V_n, ce qui permet d’étudier une suite géométrique. Elle ne rend pas la suite arithmétique : la relation obtenue est multiplicative.

7. Dans le carré de côté 1, quelle différence distingue l’aire d’un triangle successif de la somme des aires des triangles jusqu’à ce rang ?

L’aire d’un triangle est un terme de la suite géométrique, tandis que la somme jusqu’à un rang additionne tous les termes précédents.
L’aire d’un triangle est la limite de la suite, tandis que la somme jusqu’à un rang est son premier terme.
L’aire d’un triangle est une somme partielle, tandis que la somme jusqu’à un rang désigne le dernier terme géométrique.
L’aire d’un triangle est la raison de la suite géométrique, tandis que la somme jusqu’à un rang en est le premier terme.

L’aire d’un triangle est un terme de la suite géométrique, tandis que la somme jusqu’à un rang additionne tous les termes précédents.

Explication

Chaque aire de triangle correspond à un terme de la suite géométrique, alors que la somme partielle rassemble les aires successives et tend vers 23\frac23. Confondre la somme partielle avec le dernier terme ne tient pas compte des aires des triangles précédents.

8. Pourquoi le loyer augmente-t-il selon une suite géométrique lorsqu’il est revalorisé de 2 % à chaque date anniversaire ?

Le loyer augmente chaque année d’un pourcentage calculé sur le loyer initial de 600 euros.
Chaque nouveau loyer s’obtient en ajoutant au précédent une somme fixe de 2 euros.
Le loyer est déterminé en multipliant le nombre d’années écoulées par 1,02.
Chaque nouveau loyer s’obtient en multipliant le précédent par le même coefficient, 1,02.

Chaque nouveau loyer s’obtient en multipliant le précédent par le même coefficient, 1,02.

Explication

Une hausse annuelle de 2 % revient à multiplier le loyer précédent par 1,02, ce qui produit un rapport constant entre deux termes consécutifs. Ajouter une somme fixe correspondrait à une évolution arithmétique, et non à une revalorisation proportionnelle.

9. Pour calculer le total des loyers de ℓ0\ell_0 à ℓ15\ell_{15}, combien de termes faut-il inclure dans la somme ?

17 termes, car il faut ajouter un terme après l’indice 15
15 termes, car le premier terme correspond à l’indice 1
15 termes, car on compte les intervalles entre les indices
16 termes, car les indices vont de 0 à 15 inclusivement

16 termes, car les indices vont de 0 à 15 inclusivement

Explication

Les indices de 0 à 15 inclus comprennent 15−0+1=1615-0+1=16 termes. Compter les intervalles entre les indices donne 15, mais ne donne pas le nombre de termes de la somme.

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Quelle est l’expression du loyer après nn années ?

ℓn=600×1,02n\ell_n=600\times1{,}02^n

Quelle formule donne la somme de u0u_0 à unu_n pour une raison q≠1q\ne1 ?

S=u01−qn+11−qS=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Combien de termes contient la somme de u0u_0 à unu_n ?

n+1n+1 termes.

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