QCM : Suites numériques sans limite — 10 questions

Question 1

1. Quel type d’objet mathématique est une suite numérique $\left(u_n\right)$ ?

Une fonction de

\mathbb{R}

vers

\mathbb{N}

Une fonction de

\mathbb{N}

vers

\mathbb{N}

Une fonction de

\mathbb{R}

vers

\mathbb{R}

Une fonction de

\mathbb{N}

vers

\mathbb{R}

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel un nombre réel, donc elle se définit comme une fonction de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{R}$ . La confusion fréquente consiste à la considérer comme une fonction dont la variable peut prendre toutes les valeurs réelles.

Answer

Une fonction de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$

Question 2

2. Quelle distinction décrit correctement une définition explicite et une définition par récurrence d’une suite ?

La formule explicite nécessite un terme initial, tandis que la récurrence ne dépend d’aucun terme précédent.

La formule explicite donne directement

u_n

, tandis que la récurrence calcule

u_{n+1}

à partir de

u_n

.

La formule explicite utilise une relation entre deux termes, tandis que la récurrence utilise une expression indépendante de l’indice.

La formule explicite calcule

u_{n+1}

à partir de

u_n

, tandis que la récurrence donne directement

u_n

.

Explication

Une définition explicite permet d’obtenir directement le terme d’indice $n$ , alors qu’une relation de récurrence construit le terme suivant à partir du terme courant. Inverser ces rôles conduit à confondre les deux modes de définition.

Answer

La formule explicite donne directement $$u_n$$, tandis que la récurrence calcule $$u_{n+1}$$ à partir de $$u_n$$.

Question 3

3. Une suite vérifie $u_{n+1}=u_n+4$ et $u_0=3$ . Quelle expression donne son terme général ?

u_n=3\times4^n

u_n=3+4n

u_n=4+3n

u_n=3+n^4

Explication

La relation ajoute une quantité constante, donc la suite est arithmétique de raison $r=4$ et son terme général est $u_n=u_0+nr=3+4n$ . L’expression $3\times4^n$ correspondrait à une évolution géométrique.

Answer

$$u_n=3+4n$$

Question 4

4. Une suite vérifie $u_{n+1}=2u_n$ et $u_0=5$ . Quelle expression décrit son terme général ?

u_n=2\times5^n

u_n=5\times2^n

u_n=5+2n

u_n=5n^2+2

Explication

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $q=2$ , ce qui caractérise une suite géométrique de terme initial $5$ . Son terme général est donc $u_n=u_0q^n=5\times2^n$ , et non une expression additive.

Answer

$$u_n=5\times2^n$$

Question 5

5. Pour une suite géométrique de raison $q\ne1$ , combien de termes contient la somme allant de l’indice $k$ à l’indice $m$ inclus ?

N=m-k+1

N=k+m+1

N=m-k

N=m+k-1

Explication

Le comptage inclusif des indices de $k$ à $m$ donne $N=m-k+1$ termes. La quantité $m-k$ mesure seulement l’écart entre les deux indices et oublie le terme de départ.

Answer

$$N=m-k+1$$

Question 6

6. Pour une suite géométrique de raison $q\ne1$ , quelle formule calcule la somme des termes d’indices $k$ à $m$ ?

S=u_k\frac{1-q^{m-k}}{1-q}

S=u_k\frac{1-q^{m-k+1}}{1-q}

S=u_k\frac{1-q^{m+k+1}}{1-q}

S=u_k\frac{1+q^{m-k+1}}{1+q}

Explication

La somme comporte $N=m-k+1$ termes et s’écrit $S=u_k\frac{1-q^N}{1-q}$ , d’où la formule proposée. L’exposant $m-k$ omet un terme et ne correspond pas au nombre réel de termes additionnés.

Answer

$$S=u_k\frac{1-q^{m-k+1}}{1-q}$$

Question 7

7. Quelle démarche permet de déterminer le terme général d’une suite non usuelle à l’aide d’une suite auxiliaire ?

On transforme la suite en une suite auxiliaire, on exprime celle-ci, puis on retrouve la suite initiale

On calcule directement les termes de la suite initiale, puis on choisit une suite auxiliaire adaptée

On établit la monotonie de la suite initiale, puis on déduit sa formule à partir de ses variations

On définit une suite auxiliaire indépendante, puis on compare ses termes à ceux de la suite initiale

Explication

La méthode consiste à définir $v_n=f(u_n)$ , à déterminer l’expression de $v_n$ , puis à inverser la transformation pour obtenir $u_n$ . La suite auxiliaire est donc construite à partir de la suite initiale et non l’inverse.

Answer

On transforme la suite en une suite auxiliaire, on exprime celle-ci, puis on retrouve la suite initiale

Question 8

8. Quel critère permet de montrer qu’une suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique ?

Établir que

v_{n+1}\times v_n=q

, où

q

est une constante

Établir que

v_{n+1}-v_n=r

, où

r

est une constante

Établir que

v_{n+1}+v_n=r

, où

r

est une constante

Établir que

v_{n+1}/v_n=q

, où

q

est une constante

Explication

Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante, donc lorsque $v_{n+1}-v_n=r$ . Le quotient constant caractérise plutôt une suite géométrique.

Answer

Établir que $$v_{n+1}-v_n=r$$, où $$r$$ est une constante

Question 9

9. Que permet de démontrer un raisonnement par récurrence concernant une propriété $P(n)$ ?

Qu’elle est fausse dès qu’un entier inférieur à

n_0

est considéré

Qu’elle est vraie pour un entier particulier supérieur à

n_0

Qu’elle est vraie pour les premiers entiers puis devient indépendante de

n

Qu’elle est vraie pour tout entier

n\geq n_0

Explication

Le raisonnement par récurrence établit la validité de $P(n)$ pour chaque entier $n\geq n_0$ . Il ne se limite donc pas à une vérification sur quelques valeurs initiales.

Answer

Qu’elle est vraie pour tout entier $$n\geq n_0$$

Question 10

10. Dans quelle étape d’une récurrence suppose-t-on $P(n)$ vraie afin de démontrer $P(n+1)$ ?

Dans la définition, avant de préciser les valeurs prises par la propriété

Dans l’initialisation, avant de vérifier la propriété au rang initial

Dans la conclusion, avant d’établir la propriété au rang suivant

Dans l’hérédité, après avoir vérifié la propriété au rang initial

Explication

L’hérédité consiste à supposer $P(n)$ vraie et à en déduire $P(n+1)$ , après l’initialisation au rang $n_0$ . L’initialisation vérifie seulement la propriété au rang de départ.

Answer

Dans l’hérédité, après avoir vérifié la propriété au rang initial

QCM : Suites numériques sans limite — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel type d’objet mathématique est une suite numérique $\left(u_n\right)$ ?

2. Quelle distinction décrit correctement une définition explicite et une définition par récurrence d’une suite ?

3. Une suite vérifie $u_{n+1}=u_n+4$ et $u_0=3$ . Quelle expression donne son terme général ?

4. Une suite vérifie $u_{n+1}=2u_n$ et $u_0=5$ . Quelle expression décrit son terme général ?

5. Pour une suite géométrique de raison $q\ne1$ , combien de termes contient la somme allant de l’indice $k$ à l’indice $m$ inclus ?

6. Pour une suite géométrique de raison $q\ne1$ , quelle formule calcule la somme des termes d’indices $k$ à $m$ ?

7. Quelle démarche permet de déterminer le terme général d’une suite non usuelle à l’aide d’une suite auxiliaire ?

8. Quel critère permet de montrer qu’une suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique ?

9. Que permet de démontrer un raisonnement par récurrence concernant une propriété $P(n)$ ?

10. Dans quelle étape d’une récurrence suppose-t-on $P(n)$ vraie afin de démontrer $P(n+1)$ ?

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QCM : Suites numériques sans limite — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel type d’objet mathématique est une suite numérique (un)\left(u_n\right)(un​) ?

2. Quelle distinction décrit correctement une définition explicite et une définition par récurrence d’une suite ?

3. Une suite vérifie un+1=un+4u_{n+1}=u_n+4un+1​=un​+4 et u0=3u_0=3u0​=3. Quelle expression donne son terme général ?

4. Une suite vérifie un+1=2unu_{n+1}=2u_nun+1​=2un​ et u0=5u_0=5u0​=5. Quelle expression décrit son terme général ?

5. Pour une suite géométrique de raison q≠1q\ne1q=1, combien de termes contient la somme allant de l’indice kkk à l’indice mmm inclus ?

6. Pour une suite géométrique de raison q≠1q\ne1q=1, quelle formule calcule la somme des termes d’indices kkk à mmm ?

7. Quelle démarche permet de déterminer le terme général d’une suite non usuelle à l’aide d’une suite auxiliaire ?

8. Quel critère permet de montrer qu’une suite (vn)\left(v_n\right)(vn​) est arithmétique ?

9. Que permet de démontrer un raisonnement par récurrence concernant une propriété P(n)P(n)P(n) ?

10. Dans quelle étape d’une récurrence suppose-t-on P(n)P(n)P(n) vraie afin de démontrer P(n+1)P(n+1)P(n+1) ?

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1. Quel type d’objet mathématique est une suite numérique $\left(u_n\right)$ ?

3. Une suite vérifie $u_{n+1}=u_n+4$ et $u_0=3$ . Quelle expression donne son terme général ?

4. Une suite vérifie $u_{n+1}=2u_n$ et $u_0=5$ . Quelle expression décrit son terme général ?

5. Pour une suite géométrique de raison $q\ne1$ , combien de termes contient la somme allant de l’indice $k$ à l’indice $m$ inclus ?

6. Pour une suite géométrique de raison $q\ne1$ , quelle formule calcule la somme des termes d’indices $k$ à $m$ ?

8. Quel critère permet de montrer qu’une suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique ?

9. Que permet de démontrer un raisonnement par récurrence concernant une propriété $P(n)$ ?

10. Dans quelle étape d’une récurrence suppose-t-on $P(n)$ vraie afin de démontrer $P(n+1)$ ?