Fiche de révision : Suites numériques sans limite

📋 Plan du Cours

1. Généralités sur les suites
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Sommes de termes consécutifs
4. Suites auxiliaires
5. Raisonnement par récurrence

📖 1. Généralités sur les suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction de ℕ vers ℝ.

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie explicitement par $u_n=f(n)$ ou par récurrence à l’aide de $u_{n+1}=f(u_n)$.

Compléments

• La suite définie par $u_n=n^2+1$ est un exemple de définition explicite, tandis que $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n-5$ définissent une suite par récurrence.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : n → uₙ ; récurrence : uₙ → uₙ₊₁

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite qui vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ et dont le terme général est $u_n=u_0+nr$ ou $u_n=u_k+(n-k)r$.
• Suite géométrique : Suite qui vérifie $u_{n+1}=u_nq$ et dont le terme général est $u_n=u_0q^n$ ou $u_n=u_kq^{n-k}$.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d'une suite arithmétique est constituée de points alignés sur une droite de pente r.

• La représentation graphique d'une suite géométrique traduit une croissance ou une décroissance exponentielle, avec des points situés sur une courbe.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📖 3. Sommes de termes consécutifs

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison $q\ne1$, la somme de termes consécutifs d'indices k à m vérifie $S=u_k\frac{1-q^N}{1-q}$, avec $N=m-k+1$ termes.

📖 4. Suites auxiliaires

★ À maîtriser

• Pour trouver le terme général d'une suite non usuelle, on définit une suite auxiliaire $v_n=f(u_n)$, on montre que vₙ est arithmétique ou géométrique, on exprime vₙ en fonction de n, puis on en déduit uₙ en fonction de n.

Compléments

• Pour montrer que vₙ est arithmétique, on peut établir que $v_{n+1}-v_n=r$.

💡 Astuce mémo

Transformer vₙ, exprimer vₙ, retrouver uₙ

📖 5. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Démonstration qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n≥n₀.

★ À maîtriser

• Un raisonnement par récurrence comporte l'initialisation, où l'on vérifie P(n₀), l'hérédité, où l'on suppose P(n) vraie et démontre P(n+1), puis la conclusion pour tout n≥n₀.

Compléments

📌 Dans le cas $u_{n+1}=f(u_n)$, si f est croissante, une inégalité entre deux termes permet de l'appliquer à leurs images pour comparer les termes suivants.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites usuelles