Fiche de révision : Systèmes d’équations

📋 Plan du Cours

1. Définition et solution d’un système
2. Interprétation graphique des solutions
3. Résolution par comparaison
4. Résolution par substitution
5. Résolution par combinaison linéaire
6. Problèmes avec système d’équations

📖 1. Définition et solution d’un système

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de deux équations : Ensemble de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y, de la forme $\begin{cases} ax+by+c=0 \\ a'x+b'y+c'=0 \end{cases}$, où a, b, c, a', b' et c' sont des nombres relatifs donnés.
• Solution d’un système : Couple (x ; y) pour lequel les deux équations sont vérifiées simultanément.

📝 Points essentiels

• Résoudre un système consiste à trouver tous les couples de solutions.

📖 2. Interprétation graphique des solutions

★ À maîtriser

📌 Graphiquement, la solution d’un système est représentée par les coordonnées du point d’intersection des deux droites associées aux équations.

Compléments

• Pour le système $\begin{cases}x+2y=3\\-2x-y=0\end{cases}$, les équations s’écrivent respectivement $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ et $y=-2x$.

• Pour le système représenté par les droites $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ et $y=-2x$, la lecture graphique indique que le couple (-1 ; 2) est solution.

💡 Astuce mémo

Deux droites se croisent en un point dont les coordonnées donnent la solution.

📖 3. Résolution par comparaison

★ À maîtriser

• Par comparaison, on écrit l’égalité des deux expressions, on résout l’équation à une inconnue, puis on remplace la valeur obtenue dans une équation de départ pour calculer la seconde inconnue.

📌 La méthode par comparaison s’utilise lorsque les deux équations sont écrites sous la forme $x=...$ et $x=...$, ou $y=...$ et $y=...$.

Compléments

• Pour $\begin{cases}x=5y+3\x=3y+7\end{cases}$, l’égalité $5y+3=3y+7$ donne $y=2$, puis le remplacement dans une équation donne $x=13$ et la solution est S={(13 ; 2)}.

💡 Astuce mémo

Égaliser les expressions → résoudre une inconnue → remplacer pour trouver l’autre.

📖 4. Résolution par substitution

★ À maîtriser

• Par substitution, on remplace l’inconnue isolée dans l’autre équation, on résout l’équation à une inconnue, puis on remplace la valeur trouvée dans une équation de départ pour calculer la seconde inconnue.

📌 La méthode par substitution s’utilise lorsqu’une inconnue est isolée dans une équation, sous la forme $x=...$ ou $y=...$.

Compléments

• Pour $\begin{cases}y=3x-5\\2x+4y=22\end{cases}$, la substitution donne $2x+4(3x-5)=22$, puis x=3 et y=4, donc S={(3 ; 4)}.

💡 Astuce mémo

Isoler → substituer → résoudre → remplacer.

📖 5. Résolution par combinaison linéaire

★ À maîtriser

• Après avoir obtenu deux coefficients opposés, on additionne les deux lignes pour supprimer une inconnue et résoudre une équation à une inconnue, puis on recommence pour déterminer l’autre inconnue.

📌 La combinaison linéaire consiste à multiplier chaque ligne par un nombre choisi afin de faire apparaître deux coefficients opposés devant x ou devant y.

Compléments

• Pour $\begin{cases}2x-5y=12\\3x+4y=-5\end{cases}$, les multiplications et additions donnent $-23y=46$ puis y=-2, et $23x=23$ puis x=1, donc S={(1 ; -2)}.

💡 Astuce mémo

Multiplier puis additionner les lignes → éliminer une inconnue.

📖 6. Problèmes avec système d’équations

★ À maîtriser

• Pour résoudre un problème conduisant à un système, on choisit les inconnues, on écrit le système à partir des données, on le résout avec une méthode adaptée, puis on rédige une phrase de conclusion.

• La résolution du système du lot d’arbres donne y=7 et x=9, donc le lot contient 9 pêchers et 7 poiriers.

Compléments

• Pour le lot d’arbres, si x désigne le nombre de pêchers et y celui de poiriers, les données conduisent au système $\begin{cases}x+y=16\\15x+20y=275\end{cases}$.

💡 Astuce mémo

Inconnues → système → résolution → conclusion.

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de résolution