Fiche de révision : Systèmes linéaires et pivot de Gauss

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales des équations
2. Structure des systèmes linéaires
3. Types de solutions des systèmes
4. Résolution des systèmes échelonnés
5. Opérations du pivot de Gauss
6. Pivots et cas singuliers

📖 1. Notions fondamentales des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Égalité entre deux expressions contenant des quantités connues, appelées données, coefficients ou paramètres, et des quantités inconnues, appelées inconnues ou variables.
• Équation linéaire : Lorsqu’elle ne contient que des additions entre les inconnues, éventuellement multipliées par des constantes.
• Solution d’une équation : Donnée de valeurs des inconnues qui transforme l’équation en égalité vraie.
• Équations équivalentes : Si et seulement si elles ont le même ensemble de solutions.

💡 Astuce mémo

Équation vraie pour certaines valeurs, équivalence vraie pour le même ensemble de solutions

📖 2. Structure des systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Famille d’équations dont la ligne i s’écrit $a_{i,1}x_1+\cdots+a_{i,p}x_p=b_i$, avec des coefficients aᵢⱼ, un second membre bᵢ et des inconnues xⱼ.
• Solution d’un système : Donnée de valeurs des inconnues qui vérifie simultanément toutes ses lignes, c’est-à-dire qui appartient à l’intersection des ensembles de solutions de chaque équation.

📝 Points essentiels

📌 Un système est homogène si tous les bᵢ sont nuls, carré si n = p, sous-déterminé si n < p et surdéterminé si n > p.

💡 Astuce mémo

C-H-D : carré, homogène, détermination

📖 3. Types de solutions des systèmes

★ À maîtriser

📌 Un système compatible possède au moins une solution, tandis qu’un système incompatible possède l’ensemble vide comme ensemble de solutions.

• Les seules possibilités sont:
  • une solution unique
  • une infinité de solutions
  • aucune solution

📌 Un système homogène est toujours compatible car il admet au moins la solution nulle (0,0,…,0).

Compléments

📌 Un système sous-déterminé ne peut pas avoir une solution unique.

💡 Astuce mémo

Compatible = au moins une solution ; incompatible = ensemble vide

📖 4. Résolution des systèmes échelonnés

📝 Points essentiels

• Un système carré strictement échelonné se résout de bas en haut en calculant successivement xₚ, puis xₚ₋₁, jusqu’à x₁.

📌 Un système carré strictement échelonné possède toujours une solution unique lorsque tous ses coefficients diagonaux aᵢᵢ sont non nuls.

📌 Dans un système strictement échelonné surdéterminé, une équation de compatibilité 0 = bᵢ avec bᵢ non nul rend le système incompatible.

• Dans un système strictement échelonné sous-déterminé, les inconnues secondaires sont choisies librement et les inconnues principales sont ensuite déterminées en fonction d’elles.

💡 Astuce mémo

Bas en haut pour un système carré, puis paramètres pour un système sous-déterminé

📖 5. Opérations du pivot de Gauss

📝 Points essentiels

• Tout système linéaire est équivalent à un système strictement échelonné.

• Les opérations autorisées sont: la permutation des inconnues, la permutation des équations, la multiplication ou division d’une équation par une constante non nulle, la suppression d’équations inutiles, l’ajout à une équation d’un multiple d’une autre équation

📌 Lorsqu’une ligne sert à éliminer une variable dans plusieurs autres lignes, cette ligne doit rester inchangée et les autres lignes ne peuvent être modifiées que par l’ajout d’un multiple de cette ligne.

• 🔄 La méthode suit les étapes: choisir une variable à éliminer, la supprimer de toutes les équations sauf une, ignorer la ligne traitée, recommencer avec une autre variable à partir de la ligne suivante

💡 Astuce mémo

Permuter, multiplier, éliminer, puis ajouter un multiple d’une ligne

📖 6. Pivots et cas singuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Pivot : Coefficient de la variable qu’on élimine dans l’équation à partir de laquelle on effectue l’élimination.

★ À maîtriser

📌 Un pivot nul impose de rendre la variable correspondante secondaire et de vérifier ensuite la compatibilité des équations restantes.

Compléments

📌 Le nombre de pivots est égal au nombre de variables principales.

• Dans l’exemple paramétré où a = b = c = 1, les deux dernières équations donnent z = −1 et l’ensemble des solutions est (2y − 2, y, −1) avec y réel.

• Dans l’exemple paramétré où a = 1, b = 0 et c = −1, les équations restantes imposent simultanément z = −2 et z = −1/2, donc le système est incompatible.

💡 Astuce mémo

Pivot nul → variable secondaire → compatibilité à vérifier

📊 Tableaux de synthèse

Classification des systèmes