Fiche de révision : Thalès, homothéties et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Thalès et calculs
2. Contraposée de Thalès
3. Réciproque de Thalès
4. Définition des homothéties
5. Construction et propriétés des homothéties
6. Fonctions et notation
7. Images et antécédents
8. Graphique d’une fonction

📖 1. Théorème de Thalès et calculs

★ À maîtriser

📌 Lorsque deux droites sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles, les côtés correspondants des triangles formés sont proportionnels.

📐 Formule - Dans la configuration de Thalès, $\frac{AC}{AN}=\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}$ lorsque (BM) et (CN) sont sécantes en A et que (MN) est parallèle à (BC).

Compléments

• Dans une configuration de Thalès où AB = 5 cm, AC = 8 cm, BC = 4 cm et AF = 3,2 cm, les parallèles (BC) et (DF) donnent AD = 2 cm et DF = 1,6 cm.

📖 2. Contraposée de Thalès

★ À maîtriser

📌 Si deux droites sécantes en A déterminent des rapports AM/AB et AN/AC différents, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Compléments

• Avec AM = 8 cm, AK = 5 cm, AR = 6,8 cm et AD = 4 cm, on obtient AM/AK = 1,6 et AR/AD = 1,7 ; les droites (DK) et (MR) ne sont donc pas parallèles.

💡 Astuce mémo

Rapports inégaux → droites non parallèles

📖 3. Réciproque de Thalès

★ À maîtriser

📌 Si A, B, M sont alignés dans le même ordre que A, C, N et si AM/AB = AN/AC, alors (BC) et (MN) sont parallèles.

Compléments

• Avec KR = 7,2 cm, KH = 4 cm, KS = 9 cm et KL = 5 cm, les rapports KR/KH et KS/KL valent tous deux 1,8 ; comme L, K, S et H, K, R sont dans le même ordre, (LH) et (RS) sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Rapports égaux et même ordre → parallèles

📖 4. Définition des homothéties

🔑 Notions clés & Définitions

• Homothétie : Une homothétie de centre O et de rapport non nul k associe à tout point M un point M′ ; si k > 0, M′ appartient à [OM) et OM′ = k × OM, et si k < 0, M′ appartient à [MO) et OM′ = −k × OM.

★ À maîtriser

📌 Une homothétie de rapport k agrandit la figure si k ≤ −1 ou k > 1, et la réduit si −1 < k < 1.

Compléments

• Dans une homothétie, les longueurs reliant le centre aux points images sont multipliées par la valeur absolue du rapport.

• Les triangles ABC et A′B′C′ obtenus par homothétie sont semblables.

💡 Astuce mémo

Rapport positif : même demi-droite ; rapport négatif : demi-droite opposée

📖 5. Construction et propriétés des homothéties

★ À maîtriser

• Pour construire l’image M′ de M par une homothétie de centre O, on trace la demi-droite [OM) si le rapport est positif ou [MO) s’il est négatif, puis on reporte la longueur OM un nombre de fois égal à la valeur absolue du rapport.

• Une homothétie conserve les angles et le parallélisme.

Compléments

• Le centre d’une homothétie, un point et son image sont alignés.

• Une homothétie de rapport 1 ne transforme pas la figure, tandis qu’une homothétie de rapport −1 est une symétrie centrale.

📖 6. Fonctions et notation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Outil mathématique qui associe à un nombre initial un unique nombre associé.

★ À maîtriser

📌 f désigne le nom de la fonction, tandis que f(x) désigne le nombre associé à x par cette fonction.

Compléments

📐 Formule - La fonction f définie par le programme « prendre le carré du nombre choisi, puis soustraire 4 » s’écrit $f(x)=x^2-4$.

📖 7. Images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Si f(a) = b, le nombre b est l’image de a par la fonction f.
• Antécédent : Si f(a) = b, le nombre a est un antécédent de b par la fonction f.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction donnée, chaque nombre possède une seule image, tandis qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

Compléments

• Pour la fonction définie par f(x) = x², le nombre 9 a deux antécédents, 3 et −3.

💡 Astuce mémo

Une entrée a une seule image, mais une image peut avoir plusieurs antécédents

📖 8. Graphique d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Dans un repère choisi, l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).

📝 Points essentiels

• Sur la représentation graphique d’une fonction, l’abscisse correspond au nombre de départ et l’ordonnée à son image.