QCM : Thalès, homothéties et fonctions (17 questions)

Explication

Dans cette configuration, le théorème de Thalès établit que les longueurs des côtés correspondants des triangles sont proportionnelles. L’égalité des longueurs confond proportionnalité et congruence, tandis que les deux autres propositions ne décrivent pas la relation donnée.

Explication

Lorsque (MN) est parallèle à (BC), les côtés correspondants vérifient $\frac{AC}{AN}=\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}$. Inverser un seul rapport ou permuter les côtés rompt les correspondances entre les triangles.

Explication

La contraposée de Thalès indique que si les rapports correspondants sont différents, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. La conclusion de parallélisme relève d’une égalité des rapports, et la perpendicularité n’est pas établie par ces données.

Explication

On obtient $\frac{AM}{AK}=\frac{10}{4}=2{,}5$ et $\frac{AR}{AD}=\frac{7{,}2}{3}=2{,}4$. Les rapports étant différents, la contraposée de Thalès permet de conclure que (DK) et (MR) ne sont pas parallèles; les réponses affirmant l’égalité des rapports ou le parallélisme inversent les données ou la conclusion.

Explication

Lorsque les points sont dans le même ordre et que les rapports indiqués sont égaux, la réciproque de Thalès permet de conclure que (BC) et (MN) sont parallèles. Oublier l’ordre ne respecte pas toutes les conditions, tandis que la contraposée sert à établir une non-parallélité.

Explication

Les rapports valent $\frac{KR}{KH}=\frac{9}{5}=1{,}8$ et $\frac{KS}{KL}=\frac{10{,}8}{6}=1{,}8$. Avec l’ordre donné, la réciproque établit le parallélisme de (LH) et (RS) ; la contraposée sert à conclure à la non-parallélité lorsque les rapports diffèrent.

Explication

Pour un rapport négatif, M′ appartient à [MO) et $OM′=-k\times OM=2\times3=6\,\text{cm}$. La demi-droite [OM) correspond au cas positif, et la longueur est multipliée par la valeur absolue du rapport.

Explication

Comme $-1< -0{,}6 <1$, l’homothétie correspond à une réduction. Un rapport négatif ne signifie pas à lui seul un agrandissement : c’est sa valeur par rapport aux bornes −1 et 1 qui détermine le changement de taille.

Explication

Un rapport négatif impose de tracer la demi-droite [MO), et sa valeur absolue, 3, indique qu’il faut reporter OM trois fois à partir de O. Tracer [OM) revient à traiter le rapport comme positif; un seul report ne respecte pas la valeur absolue du rapport.

Explication

Une homothétie conserve le parallélisme, donc les images de deux droites parallèles restent parallèles. La conservation des longueurs, la perpendicularité et une intersection ne découlent pas de cette propriété.

Explication

Une fonction associe à un nombre initial un unique nombre associé. Une relation à plusieurs résultats ne respecte pas l’unicité; le nombre initial et le résultat sont des éléments associés à la fonction, pas le dispositif lui-même.

Explication

La notation $f(x)$ désigne le nombre que la fonction $f$ associe à $x$, tandis que $f$ seul est le nom de la fonction. Identifier $f(x)$ à la fonction confond la fonction et sa valeur; l’entrée est $x$, et la notation ne crée pas une autre fonction.

Explication

Dans une égalité de la forme $g(a)=b$, l’image de $a$ est $b$ : ici, 11 est l’image de 4. Répondre 4 confond l’image avec l’antécédent; répondre $g$ confond la fonction avec un nombre; $g(11)$ inverse la valeur recherchée.

Explication

Si $h(a)=b$, alors $a$ est un antécédent de $b$; puisque $h(-2)=7$, un antécédent de 7 est −2. Répondre 7 confond antécédent et image, tandis que $h$ n’est pas un nombre et que $h(7)$ désigne une autre image.

Explication

Une fonction associe une seule image à chaque nombre de départ, mais une même valeur peut avoir plusieurs antécédents; ici, 2 et 8 ont tous deux pour image 5. L’idée de deux images pour une entrée confond image et antécédent, l’origine unique attribue à tort l’unicité aux antécédents, et l’exclusion de 8 contredit directement les égalités données.

Explication

La représentation graphique est formée des points dont l’abscisse est le nombre de départ $x$ et l’ordonnée son image $r(x)$. Échanger les coordonnées inverse leurs rôles, mettre $x$ sur les deux axes confond entrée et image, et fixer l’ordonnée à zéro ne représente que des zéros éventuels de la fonction.

Explication

Sur la représentation graphique, l’abscisse donne le nombre de départ et l’ordonnée son image; le point $(−3\,;\,6)$ signifie donc que l’image de −3 vaut 6. L’interprétation inversée échange les axes, tandis que les deux autres réponses attribuent à l’ordonnée ou à l’abscisse le mauvais rôle.