Fiche de révision : Théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Théorème et vocabulaire du triangle rectangle
2. Calculer les longueurs d’un triangle rectangle
3. Triplets pythagoriciens
4. Réciproque et contraposée de Pythagore
5. Applications et vérifications

📖 1. Théorème et vocabulaire du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
• Hypoténuse : Le côté opposé à l’angle droit et le plus grand côté du triangle rectangle.

📝 Points essentiels

• Les deux côtés qui forment l’angle droit sont parfois appelés cathètes.

📖 2. Calculer les longueurs d’un triangle rectangle

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un triangle ABC rectangle en A, $BC^2 = AB^2 + AC^2$, où BC est l’hypoténuse.

• Pour calculer une longueur inconnue, on applique le théorème de Pythagore, on isole le carré de la longueur recherchée, puis on extrait sa racine carrée.

Compléments

• Dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm, l’hypoténuse mesure 5 cm, car $3^2+4^2=5^2$.

• Si l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l’angle droit 5 cm, l’autre côté mesure 12 cm, car $13^2-5^2=12^2$.

📖 3. Triplets pythagoriciens

🔑 Notions clés & Définitions

• Triplet pythagoricien : Un ensemble de trois longueurs entières correspondant aux côtés d’un triangle rectangle.

📝 Points essentiels

• Le triplet (3 ; 4 ; 5) et ses multiples, comme (6 ; 8 ; 10) et (9 ; 12 ; 15), sont des triplets pythagoriciens.

• Le triplet (5 ; 12 ; 13) vérifie $5^2+12^2=13^2$.

📖 4. Réciproque et contraposée de Pythagore

★ À maîtriser

📌 Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et l’angle droit est opposé au plus grand côté.

Compléments

• Pour vérifier si un triangle est rectangle, on repère son plus grand côté, on compare son carré à la somme des carrés des deux autres côtés, puis on conclut selon que l’égalité est vérifiée ou non.

• Un triangle de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm est rectangle, car $10^2=6^2+8^2$.

• Un triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm n’est pas rectangle, car $8^2\ne5^2+6^2$.

💡 Astuce mémo

L’égalité des carrés prouve le triangle rectangle ; son échec permet de conclure qu’il ne l’est pas.

📖 5. Applications et vérifications

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle d’hypoténuse 10 cm et d’un côté de 6 cm, l’autre côté mesure 8 cm.