Fiche de révision : Théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Pythagore
2. Calculer une longueur manquante
3. Réciproque de Pythagore
4. Applications géométriques
5. Pythagore et son histoire

📖 1. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : Dans un triangle rectangle, le plus long côté, opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : $c^2 = a^2 + b^2$.

📖 2. Calculer une longueur manquante

★ À maîtriser

• Pour calculer un côté manquant d’un triangle rectangle, on écrit l’égalité de Pythagore, on remplace les longueurs connues, puis on isole le carré du côté recherché et on prend sa racine carrée.

Compléments

• Dans un triangle rectangle en A où BA = 6 cm et AC = 8 cm, le théorème de Pythagore donne BC² = 6² + 8² = 100, donc BC = 10 cm.

• Dans un triangle rectangle en A où BC = 9 cm et AC = 7 cm, BA² = 9² − 7² = 32, donc BA ≈ 5,7 cm.

📖 3. Réciproque de Pythagore

★ À maîtriser

📌 Si, dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et le plus long côté est son hypoténuse.

Compléments

• Pour le triangle ABD, AD² = 15² = 225 et AB² + BD² = 9² + 12² = 225 ; la réciproque de Pythagore permet donc de conclure que le triangle ABD est rectangle en B.

• Si deux angles adjacents en B mesurent chacun 90°, leur somme vaut 180° et l’angle ABC est plat ; les points A, B et C sont alors alignés.

📖 4. Applications géométriques

★ À maîtriser

• La diagonale d’un tapis carré de 12 m de côté est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent 12 m ; sa longueur vaut √288, soit environ 16,97 m au centième près.

Compléments

• Dans une base carrée de côté 230 m, la diagonale calculée par Pythagore mesure environ 325,27 m.

• Dans une pyramide à base carrée de côté 230 m, les arêtes reliant la base au sommet mesurent 219 m.

• La longueur HC est calculée comme la moitié de la diagonale AC, soit 325,27 ÷ 2 = 162,635 m.

📖 5. Pythagore et son histoire

📝 Points essentiels

• Pythagore serait né autour de 580 avant J.-C. à Samos.

• Pythagore a fondé et dirigé l’école pythagoricienne, qui était à la fois une secte religieuse et philosophique et une association de scientifiques.

• Pythagore n’a personnellement rien écrit, et les récits de sa vie ont notamment été transmis des siècles plus tard par ses disciples, les pythagoriciens.

• L’égalité attribuée à Pythagore était connue et utilisée avant lui.