Fiche de révision : Théorème de Thalès

📋 Plan du Cours

1. Énoncé du théorème de Thalès
2. Applications et calculs de longueurs
3. Réciproque du théorème de Thalès
4. Méthode de démonstration

📖 1. Énoncé du théorème de Thalès

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thalès : affirme que si deux droites sécantes en A portent respectivement B et M, puis C et N, et si (BC) et (MN) sont parallèles, alors les rapports de longueurs correspondants sont égaux : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

★ À maîtriser

📌 Les triangles ABC et AMN ont des côtés deux à deux proportionnels lorsque les segments BC et MN sont parallèles.

Compléments

📐 Formule — Le coefficient de réduction ou d’agrandissement vérifie $k=\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

💡 Astuce mémo

Parallèles → rapports de longueurs égaux

📖 2. Applications et calculs de longueurs

★ À maîtriser

• 🔄 Le calcul avec Thalès suit quatre étapes:

  1. Identifier les droites sécantes
  2. Repérer les segments parallèles
  3. Écrire l’égalité des rapports correspondants
  4. Utiliser l’égalité des produits en croix

• Dans l’exemple où OS = 2 cm, OA = 4 cm et RS = 2,5 cm, l’égalité de Thalès donne $\frac{OA}{OS}=\frac{AB}{RS}$ et permet de calculer AB = 5 cm.

Compléments

• Dans le second exemple, l’égalité $\frac{TR}{RN}=\frac{SR}{RM}=\frac{TS}{4}$ avec $RN=3$, $SR=1{,}8$ et $RM=4{,}5$ conduit à RT = 1,2 cm et TS = 1,6 cm.

💡 Astuce mémo

Repérer → proportionner → produits en croix → calculer

📖 3. Réciproque du théorème de Thalès

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque de Thalès : affirme que si A, B et M, ainsi que A, C et N, sont alignés dans le même ordre sur deux droites sécantes en A, et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

★ À maîtriser

📌 La réciproque du théorème de Thalès sert uniquement à démontrer que deux droites sont parallèles.

• 🔄 La démonstration par la réciproque suit quatre étapes:
  1. Vérifier l’alignement dans le même ordre
  2. Calculer séparément les deux rapports
  3. Comparer les rapports
  4. Conclure au parallélisme si les rapports sont égaux

Compléments

• Dans l’exemple avec MH = 4, MA = 3, MT = 8 et ML = 6, on obtient $\frac{MH}{MA}=\frac{4}{3}$ et $\frac{MT}{ML}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$, donc (AL) et (HT) sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Théorème : parallèles donc rapports ; réciproque : rapports donc parallèles

📖 4. Méthode de démonstration

📝 Points essentiels

📌 Dans une démonstration utilisant la réciproque de Thalès, les rapports doivent être calculés séparément et les valeurs exactes doivent être conservées dans les calculs.

• Dans le second exemple de la réciproque, les droites (BD) et (CE) sont parallèles ; il faut d’abord calculer IC puis BD, avant de démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Alignement dans le même ordre → rapports séparés → comparaison → parallélisme

📊 Tableaux de synthèse

Théorème direct et réciproque