Fiche de révision : Applications et nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Applications et images
2. Injectivité surjectivité bijectivité
3. Composition des applications
4. Applications réciproques
5. Lois et structure de groupe
6. Irrationnels et ordre réel
7. Partie entière et intervalles
8. Bornes et complétude de R
9. Composition et bijectivité des applications
10. Bornes et propriétés des ensembles réels
11. Corps réel et topologie élémentaire

📖 1. Applications et images

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : associe à tout élément de E un et un seul élément de F
• Image : L’image d’une application f:E→F est l’ensemble Im f={y∈F, il existe x∈E tel que y=f(x)}.
• Graphe : Le graphe d’une application f:E→F est l’ensemble des couples (x,f(x)) avec x∈E.

📝 Points essentiels

• Pour f:R→R définie par f(x)=x², l’image est R+ car tout carré est positif et tout réel positif est le carré de sa racine carrée.

💡 Astuce mémo

Départ E, arrivée F : l’antécédent devient image par f.

📖 2. Injectivité surjectivité bijectivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Injectivité : f(x)=f(x′) implique x=x′ pour tous x,x′∈E
• Surjectivité : Une application f:E→F est surjective si tout y∈F possède au moins un antécédent dans E, ce qui équivaut à Im f=F.
• Bijectivité : Une application f:E→F est bijective si tout y∈F possède un unique antécédent dans E.

★ À maîtriser

📌 Une application est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.

Compléments

• L’application x↦sin x est surjective de R dans [−1,+1], non injective de R dans [−1,+1], et bijective de [−π/2,+π/2] dans [−1,+1].

💡 Astuce mémo

Injective : une image, au plus un antécédent ; surjective : chaque arrivée est atteinte.

📖 3. Composition des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : Si f:E→F et g:F→G, la composée g∘f est l’application de E dans G définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).

★ À maîtriser

📌 La composition est associative : pour f:E→F, g:F→G et h:G→H, h∘(g∘f)=(h∘g)∘f.

Compléments

📌 Pour toute application f:E→F, on a f∘idE=f et idF∘f=f.

💡 Astuce mémo

On applique d’abord f, puis g : g∘f.

📖 4. Applications réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Application réciproque : Une application g:F→E est réciproque de f:E→F si f∘g=idF et g∘f=idE.

★ À maîtriser

📌 Si une application f admet une réciproque, celle-ci est unique et se note f⁻¹.

📌 Une application f admet une réciproque si et seulement si elle est bijective, et f⁻¹ est alors bijective de F dans E.

Compléments

• La fonction f:R+→R+ définie par f(x)=x² est bijective et sa réciproque est f⁻¹(x)=√x.

💡 Astuce mémo

Bijectivité → existence d’une réciproque unique.

📖 5. Lois et structure de groupe

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de composition interne : Une loi de composition interne sur E associe à tout couple (x,y)∈E×E un résultat qui appartient encore à E.
• Groupe : Une loi de composition interne est une loi de groupe si elle est associative, possède un élément neutre et si tout élément admet un inverse.
• Groupe abélien : Un groupe est commutatif ou abélien si sa loi de groupe est commutative.

📝 Points essentiels

• (Z,+) et (Q,+) sont des groupes abéliens, tandis que (N,+) n’est pas un groupe car les éléments naturels n’ont pas tous un opposé dans N.

💡 Astuce mémo

Dans un groupe, l’élément neutre existe pour tous ; l’opposé existe pour chaque élément.

📖 6. Irrationnels et ordre réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Irrationnel : Un réel qui n’est pas rationnel est appelé irrationnel.
• Relation d’ordre : La relation ≤ sur R est réflexive, transitive et antisymétrique.

★ À maîtriser

• Les opérations d’addition et de multiplication sont des lois internes dans R et donnent à R une structure de corps.

• Pour tout réel A, il existe un entier naturel n tel que n>A : c’est la propriété d’Archimède.

Compléments

• Le nombre √2 est irrationnel, car supposer √2=p/q sous forme irréductible conduit à conclure que p et q sont tous deux pairs, contradiction.

📌 Si a≤b, alors a+c≤b+c ; si 0≤a et 0≤b, alors 0≤ab.

💡 Astuce mémo

R contient Q et des irrationnels → R possède une structure de corps ordonné.

📖 7. Partie entière et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière E(x) d’un réel x est le plus grand entier inférieur ou égal à x.
• Intervalle ouvert : Les intervalles ouverts comprennent notamment ]a,b[={x∈R,a<x<b}, ]−∞,a[, ]a,+∞[, l’ensemble vide et R.
• Intervalle fermé : Un intervalle fermé comprend notamment [a,b], ]−∞,a], [a,+∞[, l’ensemble vide et R ; un segment est un intervalle fermé [a,b] avec a≤b.

★ À maîtriser

📌 Un sous-ensemble J de R est un intervalle si et seulement si, pour tous x1,x2∈J, le segment [x1,x2] est inclus dans J.

Compléments

• On a E(3,2)=3, E(−3,2)=−4 et E(√2)=1.

• Tout intervalle ouvert non vide contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels.

💡 Astuce mémo

Chaque réel est coincé entre deux entiers successifs.

📖 8. Bornes et complétude de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble borné : Une partie A de R est majorée s’il existe M tel que x≤M pour tout x∈A, minorée s’il existe m tel que m≤x pour tout x∈A, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Borne supérieure : La borne supérieure sup A d’une partie non vide et majorée A est son plus petit majorant.
• Borne inférieure : La borne inférieure inf A d’une partie non vide et minorée A est son plus grand minorant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une partie A de R est bornée si et seulement s’il existe M≥0 tel que pour tout x∈A, $|x|\le M$.

📌 Un réel s est sup A si tout x∈A vérifie x≤s et si, pour tout t<s, il existe x∈A tel que t<x.

• L’axiome de la borne supérieure affirme que toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.

Compléments

• La complétude de R signifie notamment que toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure, contrairement à Q.

💡 Astuce mémo

Majorant → borne supérieure ; minorant → borne inférieure.

📖 9. Composition et bijectivité des applications

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont bijectives, alors la composée g ◦ f est bijective.

📌 Si g ◦ f est injective, alors f est injective, et si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.

Compléments

📐 Formule — Lorsque f et g sont bijectives, l'inverse de leur composée vérifie $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

💡 Astuce mémo

Injectivité : remonter vers f ; surjectivité : descendre vers g

📖 10. Bornes et propriétés des ensembles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : son plus petit majorant

★ À maîtriser

📌 Si A et B sont non vides et vérifient a < b pour tout (a,b) ∈ A × B, alors sup A ≤ inf B.

📌 Si A et B sont non vides et bornées et si A ⊂ B, alors sup A ≤ sup B et inf A ≥ inf B.

• Pour une application croissante f : [0,1] → [0,1], la construction B = {x ∈ [0,1] ; f(x) ≥ x} conduit à un point fixe b vérifiant f(b) = b.

Compléments

• L'ensemble des rationnels A = {x ∈ Q ; −√2 ≤ x ≤ √2} est non vide et majoré dans Q, mais il n'admet pas de borne supérieure dans Q.

💡 Astuce mémo

Inclusion des ensembles → comparaison des bornes

📖 11. Corps réel et topologie élémentaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps commutatif : une structure dans laquelle l'addition forme un groupe abélien, la multiplication est distributive par rapport à l'addition et l'ensemble privé de l'élément neutre de l'addition forme un groupe abélien pour la multiplication
• Ouvert de R : toute partie de R qui est la réunion d'un nombre quelconque d'intervalles ouverts de R
• Fermé de R : toute partie de R qui est le complémentaire d'une partie ouverte

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel a strictement positif et tout réel x, il existe un unique entier k ∈ Z tel que ka ≤ x < (k + 1)a.

📌 L'intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert, l'intersection d'un nombre quelconque de fermés est un fermé, et les propriétés duales concernent les réunions finies.

Compléments

• Pour a < b, la réunion des intervalles [a + 1/n, b − 1/n] pour n ∈ N∗ est l'intervalle ouvert ]a,b[.

💡 Astuce mémo

Ouvert par réunion ; fermé par complémentaire

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des applications

Propriétés de la composée