Qu'est-ce qu'une application de E dans F ?
Une correspondance unique de chaque élément de E vers un élément de F.
Comment se définit l'image d'une application f:E→F ?
L'ensemble des y dans F tels qu'il existe x dans E avec y = f(x).
Quelle condition caractérise une application injective f:E→F ?
Si f(x)=f(x′) alors x=x′ pour tous x,x′∈E.
Quelle condition caractérise une application surjective f:E→F ?
Tout y∈F possède au moins un antécédent dans E.
Quelle condition caractérise une application bijective f:E→F ?
Tout y∈F possède un unique antécédent dans E.
Quelle est la définition de la composée g∘f pour f:E→F et g:F→G ?
C'est l'application de E dans G définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).
Quelle est la propriété d'associativité de la composition d'applications ?
Pour f, g, h, on a h∘(g∘f) = (h∘g)∘f.
Qu'est-ce qu'une application réciproque de f:E→F ?
Une application g:F→E telle que f∘g=idF et g∘f=idE.
Quelle est la propriété d'une application réciproque si elle existe ?
Elle est unique et se note f⁻¹.
Quand une application f admet-elle une réciproque ?
Si et seulement si elle est bijective.
Quelle est la nature de f⁻¹ si f est bijective ?
f⁻¹ est bijective de F dans E.
Qu'impose une loi de composition interne sur E ?
Le résultat appartient encore à E.
Quelles conditions définissent une loi de groupe ?
Associativité, élément neutre, et existence d'inverses.
Pourquoi (N,+) n'est-il pas un groupe ?
Les éléments naturels n'ont pas tous un opposé dans N.
Quels groupes sont abéliens parmi (Z,+) et (Q,+) ?
Les deux sont des groupes abéliens.
Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel ?
Un réel qui n'est pas rationnel.
Quelles opérations définissent une structure de corps sur R ?
L'addition et la multiplication.
Quelles propriétés caractérisent la relation ≤ sur R ?
Elle est réflexive, transitive et antisymétrique.
Quelle propriété exprime l'existence d'un entier naturel plus grand qu'un réel donné ?
La propriété d'Archimède.
Qu'est-ce que la partie entière E(x) d'un réel x ?
Le plus grand entier inférieur ou égal à x.
Quels intervalles sont des exemples d'intervalles ouverts ?
]a,b[, ]−∞,a[, ]a,+∞[, l’ensemble vide et R.
Qu'est-ce qu'un segment dans les intervalles fermés ?
Un intervalle fermé [a,b] avec a≤b.
Quelle condition caractérise un sous-ensemble J de R comme un intervalle ?
Pour tous x1,x2∈J, le segment [x1,x2] est inclus dans J.
Qu'impose l'existence d'un majorant M pour une partie A de R?
Tout x de A vérifie x ≤ M.
Qu'impose l'existence d'un minorant m pour une partie A de R?
Tout x de A vérifie m ≤ x.
Quelle condition caractérise une partie bornée de R?
Elle est à la fois majorée et minorée.
Quelle inégalité caractérise une partie bornée A de R avec M≥0?
Pour tout x de A, |x| ≤ M.
Qu'est-ce que la borne supérieure sup A d'une partie non vide et majorée A?
Le plus petit majorant de A.
Quelles conditions caractérisent un réel s comme sup A?
Tout x de A vérifie x ≤ s et pour tout t < s, il existe x de A avec t < x.
Qu'est-ce que la borne inférieure inf A d'une partie non vide et minorée A?
Le plus grand minorant de A.
Que garantit l'axiome de la borne supérieure pour une partie non vide et majorée de R?
Elle admet une borne supérieure.
Que devient la composée g ◦ f si f et g sont bijectives ?
La composée g ◦ f est bijective.
Qu'impose l'injectivité de g ◦ f sur f ?
f est injective.
Qu'impose la surjectivité de g ◦ f sur g ?
g est surjective.
Quelle inégalité relie sup A et inf B si a < b pour tout (a,b) ∈ A × B ?
sup A ≤ inf B.
Que vaut sup A par rapport à sup B si A ⊂ B et A,B bornés ?
sup A ≤ sup B.
Que vaut inf A par rapport à inf B si A ⊂ B et A,B bornés ?
inf A ≥ inf B.
Que construit-on pour une application croissante f : [0,1] → [0,1] afin de trouver un point fixe ?
L'ensemble B = {x ∈ [0,1] ; f(x) ≥ x}.
Quel point fixe obtient-on avec B = {x ∈ [0,1] ; f(x) ≥ x} pour f croissante ?
Un point b tel que f(b) = b.
Quelles structures algébriques forment un corps commutatif ?
Un groupe abélien pour l'addition et un groupe abélien pour la multiplication hors zéro.
Quelle propriété d'existence et d'unicité relie un réel positif a et un réel x ?
Il existe un unique entier k tel que ka ≤ x < (k + 1)a.
Comment se définit un ouvert de R ?
C'est une réunion d'intervalles ouverts de R.
Comment se définit un fermé de R ?
C'est le complémentaire d'une partie ouverte de R.
Quelle propriété d'intersection caractérise les ouverts et les fermés ?
L'intersection finie d'ouverts est un ouvert, l'intersection quelconque de fermés est un fermé.
Quelle propriété duale concerne les réunions finies d'ouverts et de fermés ?
Les réunions finies d'ouverts sont ouvertes et celles de fermés sont fermées.
Que forme le graphe d'une application f:E→F ?
L'ensemble des couples (x,f(x)) avec x dans E.
Quelle est l'image de f:R→R définie par f(x)=x² ?
L'ensemble des réels positifs R+.
Pourquoi l'image de f(x)=x² est-elle R+ ?
Parce que tout carré est positif et tout réel positif est un carré.
Comment est l'application x↦sin x de R dans [−1,+1] ?
Elle est surjective mais non injective.
Comment est l'application x↦sin x de [−π/2,+π/2] dans [−1,+1] ?
Elle est bijective.
Quelle propriété lie f∘idE et f pour toute application f:E→F ?
On a f∘idE = f.
Quelle propriété lie idF∘f et f pour toute application f:E→F ?
On a idF∘f = f.
Quelle est la fonction bijective définie de R+ dans R+ donnée en exemple ?
f(x)=x².
Quelle est la réciproque de la fonction f(x)=x² sur R+ ?
f⁻¹(x)=√x.
Quand un groupe est-il dit abélien ?
Lorsque sa loi de groupe est commutative.
Pourquoi √2 est-il un nombre irrationnel ?
Parce que supposer √2 = p/q irréductible conduit à une contradiction.
Que peut-on déduire si a ≤ b dans R ?
Alors a + c ≤ b + c pour tout c.
Quelle inégalité est vraie si 0 ≤ a et 0 ≤ b ?
Alors 0 ≤ ab.
Que vaut E(3,2) selon la partie entière ?
3
Que contient tout intervalle ouvert non vide ?
Une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels.
Quelle formule donne l'inverse de la composée g ◦ f si f et g sont bijectives ?
Pourquoi l'ensemble A = {x ∈ Q ; −√2 ≤ x ≤ √2} n'a-t-il pas de borne supérieure dans Q ?
Il est majoré dans Q mais sa borne supérieure n'appartient pas à Q.
Quelle est la réunion des intervalles [a + 1/n, b − 1/n] pour n ∈ N* si a < b ?
L'intervalle ouvert ]a,b[.
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1. Quelle description caractérise la borne supérieure d’une partie réelle majorée ?
2. Pour une application , que représente l’ensemble ?
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