QCM : Applications et nombres réels (36 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description caractérise la borne supérieure d’une partie réelle majorée ?

Son plus petit majorant
La moyenne de ses éléments extrêmes
Son plus grand minorant
Un élément maximal de la partie

Son plus petit majorant

Explication

La borne supérieure est définie comme le plus petit nombre réel qui majore la partie. Un élément maximal appartient à la partie, ce qui n’est pas requis pour une borne supérieure.

2. Pour une application f:E→Ff:E\to F, que représente l’ensemble Im⁡f\operatorname{Im} f ?

Les éléments de FF atteints par au moins un élément de EE
Les éléments de FF qui possèdent exactement deux antécédents
Tous les couples formés d’un élément de EE et de son image
Les éléments de EE qui possèdent une image dans FF

Les éléments de $$F$$ atteints par au moins un élément de $$E$$

Explication

L’image est l’ensemble des valeurs de FF qui s’écrivent f(x)f(x) pour au moins un x∈Ex\in E. Elle peut être une partie propre de FF, car certains éléments de l’ensemble d’arrivée peuvent ne pas être atteints.

3. Que peut-on conclure si les applications ff et gg sont bijectives ?

La composée g∘fg\circ f est surjective mais pas injective.
La composée g∘fg\circ f est injective mais pas surjective.
La composée g∘fg\circ f est bijective.
La composée g∘fg\circ f est nécessairement constante.

La composée $$g\circ f$$ est bijective.

Explication

La composition de deux applications bijectives conserve à la fois l’injectivité et la surjectivité, donc g∘fg\circ f est bijective. Une seule de ces propriétés ne suffit pas en général à établir la bijectivité de la composée.

4. Quelles propriétés de la composée g∘fg\circ f permettent respectivement de conclure que ff est injective et que gg est surjective ?

L’injectivité de g∘fg\circ f pour gg, et sa surjectivité pour ff
La surjectivité de g∘fg\circ f pour ff, et son injectivité pour gg
L’injectivité de g∘fg\circ f pour ff, et sa surjectivité pour gg
La bijectivité de g∘fg\circ f pour ff, sans conclusion concernant gg

L’injectivité de $$g\circ f$$ pour $$f$$, et sa surjectivité pour $$g$$

Explication

Si deux antécédents par ff avaient la même image, l’injectivité de la composée les distinguerait, donc ff est injective; de même, la surjectivité de la composée force gg à atteindre chaque valeur. Les autres associations inversent ces implications ou les affaiblissent.

5. Quelle propriété satisfait la composition de trois applications composables ff, gg et hh ?

h∘(g∘f)=(g∘h)∘fh\circ(g\circ f)=(g\circ h)\circ f
h∘(g∘f)=h∘(f∘g)h\circ(g\circ f)=h\circ(f\circ g)
h∘(g∘f)=f∘(g∘h)h\circ(g\circ f)=f\circ(g\circ h)
h∘(g∘f)=(h∘g)∘fh\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f

$$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$$

Explication

La composition des applications est associative : modifier le groupement des parenthèses ne change pas l’application obtenue. En revanche, inverser l’ordre des fonctions change généralement la composition et peut même la rendre non définie.

6. Quelle condition caractérise la surjectivité d’une application f:E→Ff:E\to F ?

Des éléments distincts de EE ont des images distinctes dans FF
Tout élément de FF possède au moins un antécédent dans EE
Tout élément de FF possède au plus un antécédent dans EE
Tout élément de EE possède au moins deux images dans FF

Tout élément de $$F$$ possède au moins un antécédent dans $$E$$

Explication

Une application est surjective lorsque chaque élément de l’ensemble d’arrivée FF est atteint par au moins un élément de EE, ce qui équivaut à Im⁡f=F\operatorname{Im} f=F. L’absence de plusieurs antécédents pour une même image décrit plutôt l’injectivité.

7. Comment caractériser un ouvert de R\mathbb{R} ?

Le complémentaire d’une réunion finie d’intervalles ouverts
Une réunion quelconque d’intervalles ouverts
Une partie contenant ses deux extrémités autour de chaque point
Une intersection quelconque d’intervalles fermés

Une réunion quelconque d’intervalles ouverts

Explication

Par définition, un ouvert de R\mathbb{R} est une réunion d’un nombre quelconque d’intervalles ouverts. Une intersection quelconque d’intervalles fermés relève d’une autre propriété, et un ouvert n’a pas à contenir les extrémités de ses intervalles.

8. Quelle structure les opérations d’addition et de multiplication donnent-elles à R\mathbb R ?

Une structure d’ordre, sans opérations internes sur les réels.
Une structure d’anneau, mais avec une addition définie hors de R\mathbb R.
Une structure de groupe, avec la multiplication comme opération principale.
Une structure de corps, avec des opérations internes dans R\mathbb R.

Une structure de corps, avec des opérations internes dans $$\mathbb R$$.

Explication

L’addition et la multiplication sont internes à R\mathbb R, et ces opérations donnent aux réels une structure de corps. Une structure d’ordre existe également sur les réels, mais elle ne remplace pas leur structure algébrique de corps.

9. Quelle propriété caractérise un sous-ensemble JJ de R\mathbb{R} qui est un intervalle ?

Pour tout x∈Jx\in J, son inverse 1/x1/x appartient aussi à JJ.
Pour tous x1,x2∈Jx_1,x_2\in J, leur produit x1x2x_1x_2 appartient à JJ.
Pour tous x1,x2∈Jx_1,x_2\in J, le segment [x1,x2][x_1,x_2] est inclus dans JJ.
Pour tout x∈Jx\in J, son opposé −x-x appartient aussi à JJ.

Pour tous $$x_1,x_2\in J$$, le segment $$[x_1,x_2]$$ est inclus dans $$J$$.

Explication

Un ensemble réel est un intervalle lorsque, entre deux de ses points, il contient tous les points intermédiaires. La stabilité par opposé, produit ou inverse ne caractérise pas la notion d’intervalle.

10. Pour a>0a>0 et x∈Rx\in\mathbb{R}, quelle propriété existe concernant les multiples entiers de a qui encadrent x ?

Il existe un unique k∈Zk\in\mathbb{Z} tel que ka<x≤(k+1)aka<x\leq(k+1)a
Il existe plusieurs entiers kk tels que ka≤x<(k+1)aka\leq x<(k+1)a
Il existe un unique k∈Zk\in\mathbb{Z} tel que ka≤x<(k+1)aka\leq x<(k+1)a
Il existe un entier naturel kk tel que ka≤x<(k+1)aka\leq x<(k+1)a

Il existe un unique $$k\in\mathbb{Z}$$ tel que $$ka\leq x<(k+1)a$$

Explication

Tout réel xx appartient à un unique intervalle semi-ouvert de la forme [ka,(k+1)a[[ka,(k+1)a[ lorsque a>0a>0. L’unicité peut échouer avec des intervalles fermés, et l’entier recherché doit pouvoir être négatif.

11. Que garantit l’axiome de la borne supérieure dans R\mathbb{R} ?

Toute partie non vide possède un plus grand élément.
Toute partie majorée contient son plus petit majorant.
Toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure.
Toute partie bornée possède un nombre rationnel maximal.

Toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure.

Explication

L’axiome affirme que toute partie non vide et majorée de R\mathbb{R} admet une borne supérieure. Cette borne n’est pas forcément un élément de la partie, donc l’existence d’un plus grand élément n’est pas garantie.

12. Pourquoi Z\mathbb{Z} n’est-il pas un corps commutatif, contrairement à Q\mathbb{Q} ?

L’addition des entiers n’est pas associative dans Z\mathbb{Z}
Certains entiers non nuls n’ont pas d’inverse multiplicatif dans Z\mathbb{Z}
Les rationnels ne possèdent pas d’élément neutre pour l’addition
La multiplication des rationnels n’est pas distributive dans Q\mathbb{Q}

Certains entiers non nuls n’ont pas d’inverse multiplicatif dans $$\mathbb{Z}$$

Explication

Dans Z\mathbb{Z}, un entier non nul comme 2 n’a pas d’inverse multiplicatif entier, ce qui empêche les éléments non nuls de former un groupe multiplicatif. Les rationnels, eux, possèdent un inverse dans Q\mathbb{Q} pour chaque élément non nul.

13. Quand une partie AA de R\mathbb{R} est-elle bornée ?

Lorsqu’elle possède un plus petit élément
Lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée
Lorsqu’elle contient le nombre 00
Lorsqu’elle possède un plus grand élément

Lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée

Explication

Une partie est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant. La possession d’un plus grand ou d’un plus petit élément n’est pas nécessaire pour être bornée.

14. Si A et B sont des parties réelles non vides et bornées avec A⊂BA \subset B, quelle comparaison des bornes est correcte ?

sup⁡A≤sup⁡B\sup A \leq \sup B et inf⁡A≥inf⁡B\inf A \geq \inf B
sup⁡A≥sup⁡B\sup A \geq \sup B et inf⁡A≤inf⁡B\inf A \leq \inf B
sup⁡A≤inf⁡B\sup A \leq \inf B et inf⁡A≥sup⁡B\inf A \geq \sup B
sup⁡A=sup⁡B\sup A = \sup B et inf⁡A=inf⁡B\inf A = \inf B

$$\sup A \leq \sup B$$ et $$\inf A \geq \inf B$$

Explication

L’inclusion de A dans B signifie que tout majorant de B majore aussi A, tandis que les minorants de B imposent une borne inférieure au moins aussi basse pour A. Les égalités ne sont pas garanties, car une sous-partie peut avoir des bornes différentes.

15. Quelle description correspond à un intervalle ouvert ]a,b[]a,b[ ?

L’ensemble des réels xx tels que a<x<ba<x<b
L’ensemble des réels xx tels que x<ax<a ou x>bx>b
L’ensemble des réels xx tels que a≤x≤ba\le x\le b
L’ensemble des réels xx tels que a<x≤ba<x\le b

L’ensemble des réels $$x$$ tels que $$a<x<b$$

Explication

Un intervalle ouvert ]a,b[]a,b[ contient les réels strictement compris entre aa et bb, sans inclure les extrémités. La condition a≤x≤ba\le x\le b décrit plutôt l’intervalle fermé [a,b][a,b].

16. Lequel des ensembles suivants est un segment au sens des intervalles réels ?

[a,+∞[[a,+\infty[
[a,b][a,b] avec a≤ba\le b
]a,b[]a,b[ avec a<ba<b
]−∞,a]]-\infty,a]

$$[a,b]$$ avec $$a\le b$$

Explication

Un segment est un intervalle fermé borné de la forme [a,b][a,b] avec a≤ba\le b. Les autres ensembles proposés sont soit ouverts, soit non bornés.

17. Que signifie la propriété d’Archimède pour un réel AA ?

Tout entier naturel nn vérifie n≤An\le A.
Il existe un entier naturel nn tel que n>An>A.
Il existe un entier naturel nn tel que n=An=A.
Chaque réel AA possède un opposé qui est naturel.

Il existe un entier naturel $$n$$ tel que $$n>A$$.

Explication

La propriété d’Archimède affirme que tout réel est dépassé par au moins un entier naturel. Elle ne dit pas qu’un entier naturel est égal à ce réel, ni que tous les naturels lui sont inférieurs.

18. Quelles égalités caractérisent deux applications réciproques f:E→Ff:E\to F et g:F→Eg:F\to E ?

f∘g=0f\circ g=0 et g∘f=0g\circ f=0
f∘g=idEf\circ g=\mathrm{id}_E et g∘f=idFg\circ f=\mathrm{id}_F
f∘g=idFf\circ g=\mathrm{id}_F et g∘f=idEg\circ f=\mathrm{id}_E
f∘g=ff\circ g=f et g∘f=gg\circ f=g

$$f\circ g=\mathrm{id}_F$$ et $$g\circ f=\mathrm{id}_E$$

Explication

Les deux compositions doivent redonner l’identité sur l’ensemble de départ correspondant à chaque application. Intervertir les identités entre EE et FF inverse les domaines et les codomaines des compositions.

19. Quelle condition équivalente exprime qu’une partie AA de R\mathbb{R} est bornée ?

Il existe M≥0M\ge 0 tel que, pour tout x∈Ax\in A, x≥Mx\ge M.
Il existe M≥0M\ge 0 tel que, pour tout x∈Ax\in A, x≤−Mx\le -M.
Il existe M≥0M\ge 0 tel que, pour tout x∈Ax\in A, ∣x∣≤M|x|\le M.
Il existe M≥0M\ge 0 tel que, pour tout x∈Ax\in A, ∣x∣≥M|x|\ge M.

Il existe $$M\ge 0$$ tel que, pour tout $$x\in A$$, $$|x|\le M$$.

Explication

Une partie est bornée exactement lorsqu’il existe un réel positif ou nul qui majore la valeur absolue de chacun de ses éléments. Les autres conditions imposent une direction ou une inégalité qui ne traduit pas la bornitude.

20. Quelle est la valeur de la partie entière de −3,2-3,2 ?

−3-3
33
−4-4
44

$$-4$$

Explication

La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal au réel considéré, donc E(−3,2)=−4E(-3,2)=-4. L’entier −3-3 est supérieur à −3,2-3,2 et ne satisfait donc pas cette condition.

21. Quelle caractérisation équivalente définit une application bijective ?

Elle est à la fois injective et surjective
Elle est injective et son ensemble d’arrivée contient des éléments non atteints
Elle associe plusieurs images à chaque élément de son ensemble de départ
Elle est surjective et possède une image incluse dans son départ

Elle est à la fois injective et surjective

Explication

La bijectivité équivaut à la conjonction de l’injectivité et de la surjectivité. Elle garantit ainsi à la fois l’unicité des antécédents et l’existence d’un antécédent pour chaque élément de l’ensemble d’arrivée.

22. Dans quelle situation une application f:E→Ff:E\to F admet-elle une application réciproque ?

Lorsqu’elle est bijective, et sa réciproque va de FF vers EE.
Lorsqu’elle est surjective, et sa réciproque reste de EE vers FF.
Lorsqu’elle est injective, et sa réciproque va de EE vers FF.
Lorsqu’elle est constante, et sa réciproque va de FF vers EE.

Lorsqu’elle est bijective, et sa réciproque va de $$F$$ vers $$E$$.

Explication

Une application possède une réciproque si et seulement si elle est bijective, c’est-à-dire injective et surjective. La réciproque échange alors les ensembles de départ et d’arrivée et est elle-même bijective.

23. Soient A et B deux parties non vides de R\mathbb{R} telles que tout élément de A soit strictement inférieur à tout élément de B. Quelle relation est nécessairement vérifiée ?

sup⁡A≤inf⁡B\sup A \leq \inf B
inf⁡A≤sup⁡B\inf A \leq \sup B
inf⁡A≥sup⁡B\inf A \geq \sup B
sup⁡A≥inf⁡B\sup A \geq \inf B

$$\sup A \leq \inf B$$

Explication

La séparation de tous les éléments de A et de B implique que tout majorant pertinent de A ne dépasse pas le plus grand minorant de B, d’où sup⁡A≤inf⁡B\sup A \leq \inf B. La relation inverse entre la borne supérieure de A et la borne inférieure de B contredirait cette séparation.

24. Pourquoi (N,+)(\mathbb N,+) n’est-il pas un groupe, contrairement à (Z,+)(\mathbb Z,+) et (Q,+)(\mathbb Q,+) ?

Les nombres naturels ne possèdent pas d’élément neutre pour l’addition.
La somme de deux naturels n’est pas un nombre naturel.
L’addition n’est pas associative sur les nombres naturels.
Certains naturels n’ont pas leur opposé dans N\mathbb N.

Certains naturels n’ont pas leur opposé dans $$\mathbb N$$.

Explication

Dans N\mathbb N, un nombre comme 33 aurait besoin de −3-3 comme inverse additif, mais cet opposé n’est pas naturel. L’addition est pourtant associative, interne et possède 00 comme élément neutre.

25. Pour une application croissante f:[0,1]→[0,1]f:[0,1]\to[0,1], que permet d’obtenir la construction B={x∈[0,1] ; f(x)≥x}B=\{x\in[0,1]\ ;\ f(x)\geq x\} ?

Une borne supérieure bb vérifiant f(b)=0f(b)=0
Un point bb tel que f(b)>bf(b)>b
Un point fixe bb tel que f(b)=bf(b)=b
Un point bb tel que f(b)<bf(b)<b

Un point fixe $$b$$ tel que $$f(b)=b$$

Explication

La construction de B pour une application croissante de l’intervalle dans lui-même conduit à un point bb satisfaisant f(b)=bf(b)=b. Les inégalités strictes ne décrivent pas le point fixe obtenu, et la condition f(b)=0f(b)=0 n’est pas la conclusion de cette construction.

26. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une application f:E→Ff:E\to F ?

Chaque élément de FF possède au moins un antécédent dans EE
Si f(x)=f(x′)f(x)=f(x'), alors x=x′x=x' pour tous x,x′∈Ex,x'\in E
Chaque élément de FF possède exactement un antécédent dans EE
Deux éléments distincts de EE peuvent avoir la même image dans FF

Si $$f(x)=f(x')$$, alors $$x=x'$$ pour tous $$x,x'\in E$$

Explication

L’injectivité signifie que deux antécédents ayant la même image doivent être identiques. La condition selon laquelle chaque élément de FF est atteint concerne la surjectivité, tandis que l’unicité d’un antécédent pour chaque élément atteint relève d’une condition plus forte.

27. Quelle propriété possède la réciproque d’une application lorsqu’elle existe ?

Elle dépend du choix d’un élément de l’ensemble d’arrivée.
Elle est unique et se note f−1f^{-1}.
Elle peut être remplacée par toute application constante.
Elle existe sous plusieurs formes selon la composition utilisée.

Elle est unique et se note $$f^{-1}$$.

Explication

Une application ayant une réciproque ne peut en avoir qu’une seule, notée f−1f^{-1}. Une application constante ne peut pas jouer ce rôle général, car elle ne permet pas de retrouver chaque élément de départ.

28. Quelle condition définit une loi de composition interne sur un ensemble EE ?

Le résultat de chaque couple d’éléments de EE appartient à un ensemble extérieur à EE.
La loi associe à chaque élément de EE un unique élément de son ensemble complémentaire.
Le résultat de chaque couple d’éléments de EE appartient encore à EE.
Chaque élément de EE possède un résultat différent avec tous les autres.

Le résultat de chaque couple d’éléments de $$E$$ appartient encore à $$E$$.

Explication

Une loi de composition interne associe à tout couple (x,y)∈E×E(x,y)\in E\times E un résultat qui reste dans EE. Une opération dont le résultat sort de EE n’est donc pas interne sur cet ensemble.

29. Comment appelle-t-on un nombre réel qui n’est pas rationnel ?

Un nombre entier
Un nombre irrationnel
Un nombre naturel
Un nombre complexe

Un nombre irrationnel

Explication

Un réel qui ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul est appelé irrationnel. Les entiers et les naturels sont au contraire des exemples de nombres rationnels.

30. Que doit associer une application de EE dans FF à chaque élément de EE ?

Un unique élément de FF
Une valeur définie seulement pour certains éléments de EE
Un élément quelconque hors de FF
Au moins deux éléments de FF

Un unique élément de $$F$$

Explication

Une application associe à chaque élément de l’ensemble de départ EE un et un seul élément de l’ensemble d’arrivée FF. Une relation qui autorise plusieurs valeurs ou des valeurs extérieures à FF ne satisfait pas cette définition.

31. Quelle affirmation décrit correctement l’application x↦sin⁡xx\mapsto\sin x selon les ensembles considérés ?

Elle est bijective de [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2] dans [−1,1][-1,1]
Elle n’est pas surjective de R\mathbb{R} dans [−1,1][-1,1]
Elle est injective de R\mathbb{R} dans [−1,1][-1,1]
Elle est bijective de R\mathbb{R} dans [−1,1][-1,1]

Elle est bijective de $$[-\pi/2,\pi/2]$$ dans $$[-1,1]$$

Explication

Sur l’intervalle [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2], le sinus atteint chaque valeur de [−1,1][-1,1] une fois, donc l’application est bijective. Sur R\mathbb{R}, elle reste surjective vers [−1,1][-1,1] mais n’est pas injective à cause de sa périodicité.

32. Que représente la borne supérieure d’une partie non vide et majorée AA de R\mathbb{R} ?

Son plus petit majorant
La moyenne de ses éléments
Son plus grand élément appartenant à AA
Son plus grand minorant

Son plus petit majorant

Explication

La borne supérieure est le plus petit réel qui majore tous les éléments de AA. Elle peut ne pas appartenir à AA, contrairement au plus grand élément.

33. Quelles propriétés supplémentaires transforment une loi de composition interne en loi de groupe ?

La distributivité, un élément maximal et une valeur opposée pour chaque couple.
La réflexivité, un élément minimal et une symétrie entre les résultats.
La commutativité, plusieurs éléments neutres et un inverse pour certains éléments.
L’associativité, un élément neutre et un inverse pour chaque élément.

L’associativité, un élément neutre et un inverse pour chaque élément.

Explication

Une loi de groupe doit être associative, posséder un élément neutre et fournir un inverse à chaque élément. La commutativité n’est pas exigée pour définir un groupe, puisqu’elle caractérise seulement les groupes abéliens.

34. Quelle propriété possède la relation ≤\le sur R\mathbb R, contrairement à la relation << ?

Elle est irréflexive, symétrique et transitive.
Elle est réflexive, symétrique et non transitive.
Elle est réflexive, transitive et antisymétrique.
Elle est antisymétrique, mais ni réflexive ni transitive.

Elle est réflexive, transitive et antisymétrique.

Explication

La relation ≤\le vérifie a≤aa\le a, ainsi que la transitivité et l’antisymétrie. La relation << n’est pas réflexive, car aucun réel ne vérifie a<aa<a.

35. Quelle propriété de stabilité des ensembles ouverts et fermés est correcte ?

Une intersection quelconque d’ouverts est ouverte et une réunion finie de fermés est fermée
Une réunion finie d’ouverts est ouverte et une intersection quelconque de fermés est ouverte
Une intersection finie d’ouverts est ouverte et une réunion quelconque de fermés est fermée
Une réunion quelconque d’ouverts est fermée et une intersection finie de fermés est ouverte

Une intersection finie d’ouverts est ouverte et une réunion quelconque de fermés est fermée

Explication

Les ouverts sont stables par intersections finies, tandis que les fermés sont stables par réunions quelconques. La stabilité par réunion quelconque concerne les ouverts, non les fermés, ce qui constitue une confusion fréquente.

36. Si f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G, comment calcule-t-on la composée g∘fg\circ f en un élément x∈Ex\in E ?

On calcule g(x)g(x), puis on applique ff à cette valeur dans EE
On calcule f(g(x))f(g(x)), en appliquant d’abord gg puis ff
On calcule f(x)+g(x)f(x)+g(x), en additionnant les deux images
On calcule g(f(x))g(f(x)), en appliquant d’abord ff puis gg

On calcule $$g(f(x))$$, en appliquant d’abord $$f$$ puis $$g$$

Explication

Par définition, (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x)) : l’élément xx passe d’abord par ff, puis par gg. L’ordre de lecture du symbole de composition ne correspond donc pas à l’ordre d’application des fonctions.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 63 flashcards sur Applications et nombres réels.

Qu'est-ce qu'une application de E dans F ?

Une correspondance unique de chaque élément de E vers un élément de F.

Comment se définit l'image d'une application f:E→F ?

L'ensemble des y dans F tels qu'il existe x dans E avec y = f(x).

Quelle condition caractérise une application injective f:E→F ?

Si f(x)=f(x′) alors x=x′ pour tous x,x′∈E.

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