Fiche de révision : Théorie des ensembles et structures algébriques

📋 Plan du Cours

1. Applications injectives et surjectives
2. Bijections et applications inverses
3. Cardinalité des ensembles finis
4. Dénombrement des ensembles finis
5. Relations d’équivalence
6. Classes et ensembles quotients
7. Partitions et principe des tiroirs
8. Groupes et morphismes
9. Cycles et groupes symétriques
10. Anneaux, corps et polynômes

📖 1. Applications injectives et surjectives

🔑 Notions clés & Définitions

• Application injective : Une application f:A→B est injective si deux éléments distincts de A ont des images distinctes, ce qui s’écrit f(a)=f(a') ⇒ a=a'.
• Application surjective : Une application f:A→B est surjective si tout élément b de B possède au moins un antécédent a dans A tel que f(a)=b.
• Image d’une application : L’image d’une application f:A→B est l’ensemble des éléments de B qui sont les images d’au moins un élément de A.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus une antécédence ; surjective : chaque élément d’arrivée est atteint.

📖 2. Bijections et applications inverses

🔑 Notions clés & Définitions

• Application bijective : Une application f:A→B est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
• Application inverse : Si f:A→B est bijective, son inverse f⁻¹:B→A vérifie f⁻¹∘f=Id_A et f∘f⁻¹=Id_B.

📝 Points essentiels

• L’inverse d’une bijection est unique.

💡 Astuce mémo

Injectivité et surjectivité réunies → bijection → application inverse.

📖 3. Cardinalité des ensembles finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble fini : Un ensemble A est fini s’il existe un entier m∈ℕ et une bijection entre A et {1,…,m}.
• Cardinalité : Si A est fini, son cardinal |A| est l’unique entier m tel qu’il existe une bijection entre A et {1,…,m}.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux ensembles finis A et B, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

📖 4. Dénombrement des ensembles finis

★ À maîtriser

• Si A et B sont finis, le nombre d’applications de A vers B est $|B|^{|A|}$.

• Si |A|=|B|=n, le nombre de bijections de A vers B est $n!$.

📐 Formule - Si E est fini de cardinal m, le nombre de sous-ensembles de E ayant k éléments est $\binom{m}{k}=\frac{m!}{k!(m-k)!}$.

📐 Formule - Pour un ensemble fini A, le nombre de sous-ensembles de A est $|\mathcal P(A)|=2^{|A|}$.

Compléments

📐 Formule - Le binôme de Newton donne $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}$ pour n∈ℕ.

📖 5. Relations d’équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’équivalence : Une relation R sur X est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.

★ À maîtriser

📌 Une relation d’équivalence R sur X vérifie xRx pour tout x∈X, xRy⇒yRx, et xRy तथा yRz⇒xRz.

Compléments

• Sur ℤ, la relation définie par xRy si x−y est pair est une relation d’équivalence.

💡 Astuce mémo

RST : réflexivité, symétrie, transitivité.

📖 6. Classes et ensembles quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe d’équivalence : Pour une relation d’équivalence R sur X, la classe de x est [x]_R={y∈X | xRy}.
• Ensemble quotient : L’ensemble quotient X/R est l’ensemble des classes d’équivalence de la relation R sur X.
• Application quotient : L’application quotient π:X→X/R associe à chaque élément x sa classe [x]_R.

📝 Points essentiels

📌 Une application f:X→T se factorise par X/R si et seulement si xRy implique f(x)=f(y), et il existe alors une unique application g:X/R→T telle que f=g∘π.

💡 Astuce mémo

Chaque élément tombe dans une boîte : sa classe d’équivalence.

📖 7. Partitions et principe des tiroirs

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Une partition de X est une famille de sous-ensembles non vides deux à deux disjoints dont la réunion est X.

📝 Points essentiels

• Les partitions de X sont exactement les familles de classes d’une relation d’équivalence sur X.

📌 Le principe des tiroirs affirme qu’il n’existe pas d’application injective d’un ensemble fini F vers un ensemble fini E lorsque |F|>|E|.

💡 Astuce mémo

Plus d’objets que de tiroirs force deux objets dans le même tiroir.

📖 8. Groupes et morphismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe : Un groupe est un monoïde dans lequel chaque élément possède un inverse.
• Monoïde : Un monoïde est un ensemble muni d’une loi associative possédant un élément neutre.
• Morphisme de groupes : Une application f:H→G est un morphisme de groupes si f(hh')=f(h)f(h') pour tous h,h'∈H.

📝 Points essentiels

• Un morphisme de groupes envoie l’élément neutre sur l’élément neutre et l’inverse d’un élément sur l’inverse de son image.

📖 9. Cycles et groupes symétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe symétrique : Le groupe symétrique S_n est le groupe des bijections de {1,…,n} dans lui-même, muni de la composition, et possède n! éléments.
• Support d’un cycle : Le support d’un cycle est l’ensemble des éléments qui ne sont pas fixés par ce cycle.

📝 Points essentiels

• Toute permutation se décompose en produit de cycles deux à deux disjoints.

💡 Astuce mémo

Décomposer une permutation en cycles disjoints, puis composer ces cycles.

📖 10. Anneaux, corps et polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau : Un anneau unitaire est un ensemble muni d’une addition qui forme un groupe abélien et d’une multiplication associative distributive par rapport à l’addition, avec un élément neutre multiplicatif.
• Corps : Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif.
• Polynôme : Un polynôme à coefficients dans un anneau commutatif A est une suite presque nulle d’éléments de A, notée A[X].
• Morphisme d’anneaux : Un morphisme d’anneaux f:A→B respecte l’addition, la multiplication et l’unité : f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) et f(1_A)=1_B.

📝 Points essentiels

• L’ensemble A[X] des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif A forme un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication usuelles.

💡 Astuce mémo

Un anneau possède addition et multiplication ; un corps rend tout élément non nul inversible.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications