Qu'impose la définition d'une application injective f:A→B ?
Deux éléments distincts de A ont des images distinctes.
Quelle condition exprime l'injectivité avec f(a)=f(a') ?
Cela implique qu'a = a'.
Qu'impose la définition d'une application surjective f:A→B ?
Tout élément b de B a au moins un antécédent a dans A avec f(a)=b.
Quelles conditions doit satisfaire une application pour être bijective ?
Elle doit être injective et surjective.
Que vérifie l'application inverse f⁻¹ d'une bijection f ?
Elle vérifie f⁻¹∘f=Id_A et f∘f⁻¹=Id_B.
Qu'est-ce qu'un ensemble fini selon la définition donnée?
Un ensemble A est fini s'il existe un entier m et une bijection entre A et {1,…,m}.
Comment définit-on la cardinalité d'un ensemble fini A?
La cardinalité |A| est l'unique entier m avec une bijection entre A et {1,…,m}.
Quelle formule relie les cardinalités de A, B, A∪B et A∩B?
Quelle formule donne le nombre d'applications de A vers B finis ?
Quelle formule exprime le nombre de bijections entre deux ensembles de même cardinal n ?
Comment calcule-t-on le nombre de sous-ensembles à k éléments d'un ensemble fini de cardinal m ?
Quelle formule donne le nombre total de sous-ensembles d'un ensemble fini A ?
Quelles propriétés doit avoir une relation pour être une relation d’équivalence ?
Elle doit être réflexive, symétrique et transitive.
Quelle propriété d’une relation d’équivalence concerne tous les éléments x de X ?
Elle vérifie xRx pour tout x∈X.
Quelle propriété d’une relation d’équivalence exprime que xRy implique yRx ?
La symétrie.
Quelle propriété d’une relation d’équivalence exprime que xRy et yRz impliquent xRz ?
La transitivité.
Comment se définit la classe d'équivalence [x]_R pour une relation R sur X ?
C'est l'ensemble des y dans X tels que xRy.
Qu'est-ce que l'ensemble quotient X/R pour une relation R sur X ?
C'est l'ensemble des classes d'équivalence de R sur X.
Que fait l'application quotient π:X→X/R ?
Elle associe à chaque x sa classe d'équivalence [x]_R.
Quelle condition doit vérifier f:X→T pour se factoriser par X/R ?
xRy implique f(x)=f(y).
Que garantit la factorisation d'une application f:X→T par X/R ?
Il existe une unique application g:X/R→T telle que f=g∘π.
Qu'est-ce qu'une partition de X ?
Une famille de sous-ensembles non vides deux à deux disjoints dont la réunion est X.
Que représentent exactement les partitions de X ?
Les familles de classes d’une relation d’équivalence sur X.
Que dit le principe des tiroirs concernant une application injective entre ensembles finis ?
Il n’existe pas d’application injective de F vers E si |F| > |E|.
Qu'est-ce qu'un groupe en algèbre ?
Un monoïde dont chaque élément possède un inverse.
Quelles sont les propriétés d'un monoïde ?
Un ensemble avec une loi associative et un élément neutre.
Quelle condition doit satisfaire une application pour être un morphisme de groupes ?
Elle doit vérifier f(hh')=f(h)f(h') pour tous h,h' dans H.
Qu'est-ce que le groupe symétrique S_n ?
Le groupe des bijections de {1,…,n} dans lui-même muni de la composition.
Combien d'éléments possède le groupe symétrique S_n ?
Il possède n! éléments.
Comment se décompose toute permutation ?
En produit de cycles deux à deux disjoints.
Quelles structures doit posséder un anneau unitaire ?
Un groupe abélien pour l'addition, une multiplication associative distributive, et un élément neutre multiplicatif.
Quelles propriétés caractérisent un corps parmi les anneaux ?
Il est commutatif et tout élément non nul a un inverse multiplicatif.
Comment définit-on un polynôme à coefficients dans un anneau commutatif A ?
C'est une suite presque nulle d'éléments de A, notée A[X].
Qu'est-ce que l'image d'une application f:A→B ?
L'ensemble des éléments de B images d'au moins un élément de A.
Quelle est l'unicité de l'inverse d'une bijection ?
L'inverse d'une bijection est unique.
Quelle formule exprime le binôme de Newton pour ?
Quelle relation sur ℤ est définie par xRy si x−y est pair ?
Une relation d’équivalence.
Que fait un morphisme de groupes à l'élément neutre ?
Il envoie l'élément neutre sur l'élément neutre.
Comment un morphisme de groupes agit-il sur l'inverse d'un élément ?
Il envoie l'inverse sur l'inverse de son image.
Qu'appelle-t-on le support d'un cycle ?
L'ensemble des éléments non fixés par ce cycle.
Quelle structure algébrique forme l'ensemble A[X] des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif A ?
Un anneau commutatif pour l'addition et la multiplication usuelles.
Quelles propriétés doit respecter un morphisme d'anneaux f:A→B ?
Respecter l'addition, la multiplication et l'unité : f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y), f(1_A)=1_B.
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1. Quelle condition caractérise une application injective ?
2. Pour qu’une application soit surjective, quelle condition doit être vérifiée ?
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