QCM : Théorie des ensembles et structures algébriques (28 questions)

Question 1

1. Quelle condition caractérise une application injective $f:A\to B$ ?

Deux éléments distincts de

A

ont des images distinctes dans

B

Chaque élément de

A

possède plusieurs antécédents dans

B

Chaque élément de

B

possède au moins un antécédent dans

A

Tous les éléments de

A

et de

B

ont des images identiques

Explication

Une application injective envoie des éléments distincts de $A$ vers des images distinctes, ce qui revient à écrire $f(a)=f(a')\Rightarrow a=a'$ . La condition concernant l’existence d’un antécédent pour chaque élément de $B$ définit la surjectivité.

Answer

Deux éléments distincts de $$A$$ ont des images distinctes dans $$B$$

Question 2

2. Pour qu’une application $f:A\to B$ soit surjective, quelle condition doit être vérifiée ?

Chaque élément de

B

possède au moins un antécédent dans

A

Chaque élément de

A

possède exactement une image dans

B

Les ensembles

A

et

B

ont nécessairement le même nombre d’éléments

Deux éléments distincts de

A

possèdent des images distinctes dans

B

Explication

La surjectivité signifie que tout élément de l’ensemble d’arrivée $B$ est atteint par au moins un élément de $A$ . La distinction des images d’éléments distincts relève de l’injectivité, tandis que l’existence d’une image pour chaque élément de $A$ caractérise une application.

Answer

Chaque élément de $$B$$ possède au moins un antécédent dans $$A$$

Question 3

3. Dans quelle situation une application $f:A\to B$ est-elle bijective ?

Lorsqu’elle est surjective et que

A

contient plus d’éléments que

B

Lorsqu’elle associe plusieurs images à chaque élément de

A

Lorsqu’elle est injective et que certains éléments de

B

ne sont pas atteints

Lorsqu’elle est à la fois injective et surjective

Explication

Une bijection possède simultanément les deux propriétés : elle distingue les éléments de $A$ et atteint tous les éléments de $B$ . Une application surjective peut manquer d’injectivité, tandis qu’une application injective peut ne pas atteindre tout $B$ .

Answer

Lorsqu’elle est à la fois injective et surjective

Question 4

4. Si $f:A\to B$ est bijective et $f^{-1}:B\to A$ est son inverse, quelles égalités sont vérifiées ?

f^{-1}\circ f=f

et

f\circ f^{-1}=f^{-1}

f^{-1}\circ f=\varnothing

et

f\circ f^{-1}=\varnothing

f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}_A

et

f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_B

f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}_B

et

f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_A

Explication

L’inverse annule l’action de $f$ dans chaque sens : revenir de $A$ à $B$ puis revenir à $A$ donne $\operatorname{Id}_A$ , et le parcours inverse donne $\operatorname{Id}_B$ . Les identités doivent être associées à l’ensemble de départ correspondant à chaque composition.

Answer

$$f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}_A$$ et $$f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_B$$

Question 5

5. Comment reconnaît-on qu’un ensemble $A$ est fini ?

Il existe un entier

m\in\mathbb{N}

et une bijection entre

A

et

\{1,\ldots,m\}

Il existe une application injective de

A

vers un ensemble quelconque

Tous ses éléments possèdent une image dans un ensemble d’arrivée

Il existe une application surjective de

A

vers un ensemble infini

Explication

Un ensemble est fini lorsqu’il peut être mis en bijection avec un ensemble d’entiers consécutifs $\{1,\ldots,m\}$ pour un certain entier naturel $m$ . Une simple application injective ou surjective ne suffit pas à établir cette caractérisation.

Answer

Il existe un entier $$m\in\mathbb{N}$$ et une bijection entre $$A$$ et $$\{1,\ldots,m\}$$

Question 6

6. Que représente le cardinal $|A|$ d’un ensemble fini $A$ ?

Le plus grand entier appartenant à

A

lorsqu’il contient des nombres naturels

Le nombre d’applications injectives pouvant être définies entre

A

et

\{1,\ldots,m\}

Le nombre d’éléments de l’ensemble d’arrivée d’une application définie sur

A

L’unique entier

m

tel que

A

soit en bijection avec

\{1,\ldots,m\}

Explication

Le cardinal $|A|$ est l’unique entier $m$ qui permet d’établir une bijection entre $A$ et $\{1,\ldots,m\}$ . Il mesure donc la taille de $A$ , et ne désigne ni un élément maximal ni le nombre d’applications possibles.

Answer

L’unique entier $$m$$ tel que $$A$$ soit en bijection avec $$\{1,\ldots,m\}$$

Question 7

7. Si $|A|=12$ , $|B|=9$ et $|A\cap B|=4$ , quelle est la valeur de $|A\cup B|$ ?

25

17

8

21

Explication

La formule d’inclusion-exclusion donne $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=12+9-4=17$ . Ajouter les deux cardinaux sans soustraire l’intersection compterait les éléments communs deux fois.

Answer

$$\binom{5}{2}=10$$

Answer

$$2^6=64$$

Answer

Elle est réflexive, symétrique et transitive.

Answer

L’ensemble des éléments de X équivalents à x.

Answer

Les classes d’équivalence de la relation.

Answer

Elle associe x à sa classe $$[x]_R$$.

Answer

Lorsque xRy implique $$f(x)=f(y)$$.

Answer

Elle est formée de sous-ensembles non vides, disjoints deux à deux, dont la réunion vaut $$X$$.

Answer

Les familles de classes d’équivalence d’une relation d’équivalence sur $$X$$.

Answer

Aucune application de $$F$$ vers $$E$$ ne peut être injective.

Answer

Chaque élément possède un inverse pour la loi considérée.

Answer

La loi est associative et possède un élément neutre.

Answer

$$f(hh')=f(h)f(h')$$

Answer

Il regroupe les bijections de $${1,\ldots,n}$$ vers lui-même et possède $$n!$$ éléments.

Answer

Elle se décompose en produit de cycles deux à deux disjoints.

Answer

Son addition forme un groupe abélien et sa multiplication est associative, distributive et possède une unité

Answer

Chaque élément non nul possède un inverse multiplicatif

Answer

Comme une suite presque nulle d’éléments de A, notée A[X]

Question 8

8. Si un ensemble fini A possède 3 éléments et un ensemble fini B en possède 2, combien d’applications de A vers B existe-t-il ?

2^3=8

3!=6

3^2=9

2!=2

Explication

Chaque élément de A peut être envoyé vers l’un des 2 éléments de B, ce qui donne $|B|^{|A|}=2^3=8$ applications. Le nombre $3^2$ inverse les rôles de la base et de l’exposant.

Question 9

9. Si deux ensembles finis ont chacun 4 éléments, combien de bijections existe-t-il entre eux ?

2^4=16

4!=24

4^4=256

4^2=16

Explication

Lorsque les deux ensembles ont le même cardinal $n$ , le nombre de bijections est $n!$ , donc $4!=24$ . Le nombre $4^4$ compte toutes les applications, y compris celles qui ne sont pas bijectives.

Question 10

10. Combien de sous-ensembles à 2 éléments possède un ensemble fini de 5 éléments ?

5!=120

2^5=32

\binom{5}{2}=10

\binom{2}{5}=0

Explication

Le nombre de sous-ensembles à $k$ éléments d’un ensemble de cardinal $m$ est $\binom{m}{k}$ , donc ici $\binom{5}{2}=10$ . La quantité $2^5$ compte tous les sous-ensembles, quelle que soit leur taille.

Question 11

11. Un ensemble fini possède 6 éléments. Combien a-t-il de sous-ensembles au total ?

2\times6=12

\binom{6}{2}=15

2^6=64

6!=720

Explication

Chaque élément peut être choisi ou non dans un sous-ensemble, ce qui donne $2^{|A|}=2^6=64$ sous-ensembles. La valeur $\binom{6}{2}$ ne compte que les sous-ensembles ayant précisément 2 éléments.

Question 12

12. Laquelle de ces propriétés caractérise une relation d’équivalence sur un ensemble X ?

Elle est antisymétrique, totale et transitive.

Elle est réflexive, symétrique et transitive.

Elle est symétrique, totale et antisymétrique.

Elle est réflexive, antisymétrique et totale.

Explication

Une relation d’équivalence doit satisfaire simultanément la réflexivité, la symétrie et la transitivité. L’antisymétrie et la totalité caractérisent d’autres types de relations et ne remplacent pas la symétrie.

Question 13

13. Si une relation R vérifie xRy et yRz, quelle conclusion la transitivité permet-elle d’obtenir ?

yRx

zRx

xRx

xRz

Explication

La transitivité transforme les deux relations successives xRy et yRz en la relation xRz. La conclusion yRx relèverait de la symétrie, tandis que xRx relève de la réflexivité.

Question 14

14. Pour une relation d’équivalence R sur X, que représente la classe $[x]_R$ ?

L’ensemble des couples de X liés par R.

L’ensemble des éléments de X non équivalents à x.

L’ensemble des éléments de X équivalents à x.

L’ensemble des représentants distincts de X.

Explication

Par définition, $[x]_R=\{y\in X\mid xRy\}$ regroupe les éléments de X équivalents à x. Un représentant est un élément de cette classe, mais la classe elle-même est un ensemble d’éléments.

Question 15

15. Que contient l’ensemble quotient $X/R$ associé à une relation d’équivalence sur X ?

Les couples ordonnés appartenant à la relation.

Les classes d’équivalence de la relation.

Les éléments originels de l’ensemble X.

Les sous-ensembles de X de cardinal fixé.

Explication

L’ensemble quotient $X/R$ est constitué des classes d’équivalence de R. L’ensemble X contient les éléments originels, tandis que le quotient rassemble ces éléments en classes.

Question 16

16. Que fait l’application quotient $\pi:X\to X/R$ à un élément x de X ?

Elle associe x à tous les éléments qui ne lui sont pas équivalents.

Elle associe x à sa classe

[x]_R

.

Elle associe x à un représentant choisi de chaque classe.

Elle associe x à l’ensemble des classes distinctes de X.

Explication

L’application quotient envoie chaque élément x sur sa classe d’équivalence $[x]_R$ . Elle ne sélectionne pas un représentant particulier et ne renvoie pas l’ensemble entier des classes.

Question 17

17. Dans quel cas une application $f:X\to T$ se factorise-t-elle par l’application quotient $\pi:X\to X/R$ ?

Lorsque xRy implique

f(x)\ne f(y)

.

Lorsque f est injective sur chaque classe d’équivalence.

Lorsque chaque classe contient un seul élément.

Lorsque xRy implique

f(x)=f(y)

.

Explication

La factorisation est possible exactement lorsque f prend la même valeur sur deux éléments équivalents, c’est-à-dire lorsque xRy implique $f(x)=f(y)$ . L’injectivité sur les classes ne garantit pas cette constance et la condition $f(x)\ne f(y)$ lui est contraire.

Question 18

18. Laquelle des propriétés caractérise une partition d’un ensemble $X$ ?

Elle est formée de sous-ensembles éventuellement vides, dont les intersections sont toutes non vides.

Elle rassemble des sous-ensembles de

X

ayant la même cardinalité, sans condition sur leur réunion.

Elle est formée de sous-ensembles non vides, disjoints deux à deux, dont la réunion vaut

X

.

Elle contient des sous-ensembles disjoints deux à deux, même si certains éléments de

X

ne sont pas couverts.

Explication

Une partition découpe $X$ en blocs non vides, sans recouvrement, et chaque élément de $X$ appartient à un bloc. Une simple famille de sous-ensembles peut se recouper ou laisser des éléments non couverts, ce qui ne suffit pas pour former une partition.

Question 19

19. Quelle construction permet d’obtenir exactement les partitions d’un ensemble $X$ ?

Les familles de classes associées à une relation antisymétrique sur

X

.

Les familles de classes d’équivalence d’une relation d’équivalence sur

X

.

Les familles de sous-ensembles obtenues à partir d’une relation réflexive sur

X

.

Les familles de sous-ensembles définies par une relation quelconque sur

X

.

Explication

Les classes d’équivalence regroupent les éléments selon une relation réflexive, symétrique et transitive, et forment précisément une partition de $X$ . Une relation possédant seulement certaines de ces propriétés ne garantit pas ce découpage en classes disjointes couvrant $X$ .

Question 20

20. Si un ensemble fini $F$ possède davantage d’éléments qu’un ensemble fini $E$ , quelle conclusion s’impose pour une application de $F$ vers $E$ ?

Aucune application de

F

vers

E

ne peut être injective.

Il existe une application bijective de

F

vers

E

.

Toute application de

F

vers

E

est nécessairement surjective.

Toute application de

F

vers

E

associe des images distinctes aux éléments de

F

.

Explication

Le principe des tiroirs affirme qu’une application injective de $F$ vers $E$ est impossible lorsque $|F|>|E|$ . La surjectivité n’est pas imposée par cette inégalité et peut même être réalisée dans certains cas.

Question 21

21. Quelle condition supplémentaire transforme un monoïde en groupe ?

L’ensemble devient fini et possède un élément neutre.

La loi devient commutative pour tous les couples d’éléments.

La loi cesse d’être associative dès qu’un inverse apparaît.

Chaque élément possède un inverse pour la loi considérée.

Explication

Un groupe est un monoïde dans lequel chaque élément admet un inverse. La commutativité et la finitude ne sont pas requises, tandis que l’associativité et l’existence d’un neutre appartiennent déjà à la définition d’un monoïde.

Question 22

22. Quelles propriétés définissent un monoïde sur un ensemble muni d’une loi ?

La loi possède un neutre, mais elle n’a pas besoin d’être associative.

La loi est associative et chaque élément possède un inverse.

La loi est associative et possède un élément neutre.

La loi est commutative et chaque élément possède un inverse.

Explication

Un monoïde combine l’associativité de la loi et l’existence d’un élément neutre. La présence d’un inverse pour chaque élément caractérise plutôt un groupe, et la commutativité n’est pas exigée.

Question 23

23. Une application $f:H\to G$ est-elle un morphisme de groupes lorsque, pour tous $h,h'\in H$ , elle vérifie quelle relation ?

f(hh')=f(h)f(h')

f(hh')=f(h)+f(h')

f(hh')=f(h')f(h)

f(hh')=f(h)f(h')^{-1}

Explication

Un morphisme de groupes respecte la loi de groupe en envoyant le produit de deux éléments sur le produit de leurs images. Les autres relations introduisent une loi additive, inversent l’ordre ou remplacent l’image du second facteur par son inverse, sans correspondre à la définition générale.

Question 24

24. Comment définit-on le groupe symétrique $S_n$ , et combien d’éléments possède-t-il ?

Il regroupe les bijections de

{1,\ldots,n}

vers lui-même et possède

n^n

éléments.

Il regroupe les bijections de

{1,\ldots,n}

vers lui-même et possède

n!

éléments.

Il regroupe les applications injectives de

{1,\ldots,n}

vers lui-même et possède

n!+n

éléments.

Il regroupe toutes les applications de

{1,\ldots,n}

vers lui-même et possède

n^n

éléments.

Explication

Le groupe symétrique est constitué des bijections de l’ensemble à $n$ éléments sur lui-même, et leur nombre est $n!$ . L’ensemble de toutes les applications contient aussi des applications non bijectives et possède $n^n$ éléments.

Question 25

25. Quelle propriété possède toute permutation d’un ensemble fini ?

Elle se décompose en cycles qui partagent tous au moins un élément.

Elle s’écrit comme un cycle unique contenant chaque élément de l’ensemble.

Elle se décompose en somme de transpositions deux à deux disjointes.

Elle se décompose en produit de cycles deux à deux disjoints.

Explication

Toute permutation admet une décomposition en cycles disjoints, obtenue en regroupant les éléments qui se parcourent mutuellement sous l’action de la permutation. Une permutation peut comporter plusieurs cycles, et ces cycles ne partagent aucun élément.

Question 26

26. Quelle propriété caractérise un anneau unitaire ?

Son addition forme un groupe abélien et chaque élément possède un inverse multiplicatif

Sa multiplication forme un groupe abélien et l’addition est associative avec une unité

Son addition forme un groupe abélien et sa multiplication est associative, distributive et possède une unité

Son addition est associative et sa multiplication est commutative, distributive et dépourvue d’unité

Explication

Un anneau unitaire combine une addition formant un groupe abélien avec une multiplication associative et distributive qui admet un élément neutre. La présence d’un inverse multiplicatif pour chaque élément relève plutôt de la structure de corps.

Question 27

27. Quelle condition supplémentaire distingue un corps d’un anneau commutatif ?

Chaque élément possède un inverse additif distinct de lui-même

La multiplication est associative et distributive par rapport à l’addition

L’addition forme un groupe abélien contenant un élément neutre

Chaque élément non nul possède un inverse multiplicatif

Explication

Dans un corps, tout élément non nul est inversible pour la multiplication, en plus des propriétés d’un anneau commutatif. Un anneau commutatif peut contenir des éléments non nuls dépourvus d’inverse multiplicatif.

Question 28

28. Comment décrit-on un polynôme à coefficients dans un anneau commutatif A ?

Comme un ensemble de fonctions de A vers A, noté A[X]

Comme une suite presque nulle d’éléments de A, notée A[X]

Comme une suite infinie d’éléments non nuls de A, notée A[X]

Comme une famille finie de nombres inversibles de A, notée A[X]

Explication

Un polynôme à coefficients dans A est une suite d’éléments de A dont presque tous sont nuls, et l’ensemble de ces polynômes est noté A[X]. Une suite infinie d’éléments non nuls ne correspond pas à cette définition.

QCM : Théorie des ensembles et structures algébriques (28 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une application injective $f:A\to B$ ?

2. Pour qu’une application $f:A\to B$ soit surjective, quelle condition doit être vérifiée ?

3. Dans quelle situation une application $f:A\to B$ est-elle bijective ?

4. Si $f:A\to B$ est bijective et $f^{-1}:B\to A$ est son inverse, quelles égalités sont vérifiées ?

5. Comment reconnaît-on qu’un ensemble $A$ est fini ?

6. Que représente le cardinal $|A|$ d’un ensemble fini $A$ ?

7. Si $|A|=12$ , $|B|=9$ et $|A\cap B|=4$ , quelle est la valeur de $|A\cup B|$ ?

8. Si un ensemble fini A possède 3 éléments et un ensemble fini B en possède 2, combien d’applications de A vers B existe-t-il ?

9. Si deux ensembles finis ont chacun 4 éléments, combien de bijections existe-t-il entre eux ?

10. Combien de sous-ensembles à 2 éléments possède un ensemble fini de 5 éléments ?

11. Un ensemble fini possède 6 éléments. Combien a-t-il de sous-ensembles au total ?

12. Laquelle de ces propriétés caractérise une relation d’équivalence sur un ensemble X ?

13. Si une relation R vérifie xRy et yRz, quelle conclusion la transitivité permet-elle d’obtenir ?

14. Pour une relation d’équivalence R sur X, que représente la classe $[x]_R$ ?

15. Que contient l’ensemble quotient $X/R$ associé à une relation d’équivalence sur X ?

16. Que fait l’application quotient $\pi:X\to X/R$ à un élément x de X ?

17. Dans quel cas une application $f:X\to T$ se factorise-t-elle par l’application quotient $\pi:X\to X/R$ ?

18. Laquelle des propriétés caractérise une partition d’un ensemble $X$ ?

19. Quelle construction permet d’obtenir exactement les partitions d’un ensemble $X$ ?

20. Si un ensemble fini $F$ possède davantage d’éléments qu’un ensemble fini $E$ , quelle conclusion s’impose pour une application de $F$ vers $E$ ?

21. Quelle condition supplémentaire transforme un monoïde en groupe ?

22. Quelles propriétés définissent un monoïde sur un ensemble muni d’une loi ?

23. Une application $f:H\to G$ est-elle un morphisme de groupes lorsque, pour tous $h,h'\in H$ , elle vérifie quelle relation ?

24. Comment définit-on le groupe symétrique $S_n$ , et combien d’éléments possède-t-il ?

25. Quelle propriété possède toute permutation d’un ensemble fini ?

26. Quelle propriété caractérise un anneau unitaire ?

27. Quelle condition supplémentaire distingue un corps d’un anneau commutatif ?

28. Comment décrit-on un polynôme à coefficients dans un anneau commutatif A ?

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QCM : Théorie des ensembles et structures algébriques (28 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une application injective f:A→Bf:A\to Bf:A→B ?

2. Pour qu’une application f:A→Bf:A\to Bf:A→B soit surjective, quelle condition doit être vérifiée ?

3. Dans quelle situation une application f:A→Bf:A\to Bf:A→B est-elle bijective ?

4. Si f:A→Bf:A\to Bf:A→B est bijective et f−1:B→Af^{-1}:B\to Af−1:B→A est son inverse, quelles égalités sont vérifiées ?

5. Comment reconnaît-on qu’un ensemble AAA est fini ?

6. Que représente le cardinal ∣A∣|A|∣A∣ d’un ensemble fini AAA ?

7. Si ∣A∣=12|A|=12∣A∣=12, ∣B∣=9|B|=9∣B∣=9 et ∣A∩B∣=4|A\cap B|=4∣A∩B∣=4, quelle est la valeur de ∣A∪B∣|A\cup B|∣A∪B∣ ?

8. Si un ensemble fini A possède 3 éléments et un ensemble fini B en possède 2, combien d’applications de A vers B existe-t-il ?

9. Si deux ensembles finis ont chacun 4 éléments, combien de bijections existe-t-il entre eux ?

10. Combien de sous-ensembles à 2 éléments possède un ensemble fini de 5 éléments ?

11. Un ensemble fini possède 6 éléments. Combien a-t-il de sous-ensembles au total ?

12. Laquelle de ces propriétés caractérise une relation d’équivalence sur un ensemble X ?

13. Si une relation R vérifie xRy et yRz, quelle conclusion la transitivité permet-elle d’obtenir ?

14. Pour une relation d’équivalence R sur X, que représente la classe [x]R[x]_R[x]R​ ?

15. Que contient l’ensemble quotient X/RX/RX/R associé à une relation d’équivalence sur X ?

16. Que fait l’application quotient π:X→X/R\pi:X\to X/Rπ:X→X/R à un élément x de X ?

17. Dans quel cas une application f:X→Tf:X\to Tf:X→T se factorise-t-elle par l’application quotient π:X→X/R\pi:X\to X/Rπ:X→X/R ?

18. Laquelle des propriétés caractérise une partition d’un ensemble XXX ?

19. Quelle construction permet d’obtenir exactement les partitions d’un ensemble XXX ?

20. Si un ensemble fini FFF possède davantage d’éléments qu’un ensemble fini EEE, quelle conclusion s’impose pour une application de FFF vers EEE ?

21. Quelle condition supplémentaire transforme un monoïde en groupe ?

22. Quelles propriétés définissent un monoïde sur un ensemble muni d’une loi ?

23. Une application f:H→Gf:H\to Gf:H→G est-elle un morphisme de groupes lorsque, pour tous h,h′∈Hh,h'\in Hh,h′∈H, elle vérifie quelle relation ?

24. Comment définit-on le groupe symétrique SnS_nSn​, et combien d’éléments possède-t-il ?

25. Quelle propriété possède toute permutation d’un ensemble fini ?

26. Quelle propriété caractérise un anneau unitaire ?

27. Quelle condition supplémentaire distingue un corps d’un anneau commutatif ?

28. Comment décrit-on un polynôme à coefficients dans un anneau commutatif A ?

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1. Quelle condition caractérise une application injective $f:A\to B$ ?

2. Pour qu’une application $f:A\to B$ soit surjective, quelle condition doit être vérifiée ?

3. Dans quelle situation une application $f:A\to B$ est-elle bijective ?

4. Si $f:A\to B$ est bijective et $f^{-1}:B\to A$ est son inverse, quelles égalités sont vérifiées ?

5. Comment reconnaît-on qu’un ensemble $A$ est fini ?

6. Que représente le cardinal $|A|$ d’un ensemble fini $A$ ?

7. Si $|A|=12$ , $|B|=9$ et $|A\cap B|=4$ , quelle est la valeur de $|A\cup B|$ ?

14. Pour une relation d’équivalence R sur X, que représente la classe $[x]_R$ ?

15. Que contient l’ensemble quotient $X/R$ associé à une relation d’équivalence sur X ?

16. Que fait l’application quotient $\pi:X\to X/R$ à un élément x de X ?

17. Dans quel cas une application $f:X\to T$ se factorise-t-elle par l’application quotient $\pi:X\to X/R$ ?

18. Laquelle des propriétés caractérise une partition d’un ensemble $X$ ?

19. Quelle construction permet d’obtenir exactement les partitions d’un ensemble $X$ ?

20. Si un ensemble fini $F$ possède davantage d’éléments qu’un ensemble fini $E$ , quelle conclusion s’impose pour une application de $F$ vers $E$ ?

23. Une application $f:H\to G$ est-elle un morphisme de groupes lorsque, pour tous $h,h'\in H$ , elle vérifie quelle relation ?

24. Comment définit-on le groupe symétrique $S_n$ , et combien d’éléments possède-t-il ?