Espace métrique — définition ?
Ensemble avec une distance vérifiant axiomes.
Exemple d’espace métrique
$( set, | imes|)$ avec la distance usuelle.
Boule ouverte — définition ?
Points à distance strictement inférieure à r du centre.
Boule fermée — définition ?
Points à distance inférieure ou égale à r du centre.
Sphère — définition ?
Points à distance exactement r du centre.
Voisinage — rôle ?
Contient une boule ouverte centrée en un point.
Intérieur — définition ?
Ensemble des points avec boule entièrement dedans.
Adhérence — rôle ?
Plus petit fermé contenant la partie.
Point adhérent — définition ?
Toute boule centrée en lui rencontre la partie.
Partie ouverte — caractéristique ?
Tous ses points sont intérieurs.
Partie fermée — caractéristique ?
Contient tous ses points d’adhérence.
Intérieur d’une partie — définition ?
Ensemble des points intérieurs à cette partie.
Adhérence d’une partie — définition ?
Ensemble des points limites ou d’accumulation.
Partie ouverte — caractérisation séquentielle ?
Tout point limite a une suite dans la partie convergeant vers lui.
Partie fermée — caractérisation séquentielle ?
Toute suite dans la partie qui converge a sa limite dans la partie.
Partie bornée — définition ?
Existence d’un rayon r tel que la partie est contenue dans une boule de rayon r.
Diamètre d’une partie — définition ?
Supremum des distances entre deux points de la partie.
Convergence d’une suite — définition ?
Les termes deviennent arbitrairement proches d’un point.
Sous-suite — rôle ?
Permet d’extraire une convergence ou une valeur d’adhérence.
Valeur d’adhérence — définition ?
Limite possible d’une sous-suite.
Partie compacte — caractéristique ?
Toute suite admet une sous-suite convergente dans la partie.
Espace compact — caractéristique ?
Toute suite admet une sous-suite convergente.
Norme — rôle ?
Mesure la taille ou la longueur d’un vecteur.
Distance associée à une norme
Distance définie par $d(x,y)= orm{x-y}$.
Teste tes connaissances avec un QCM de 24 questions sur Topologie et convergence en espace métrique.
1. Quelle propriété caractérise une distance sur un ensemble non vide ?
2. Comment est définie la distance discrète sur un ensemble ?
Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Topologie et convergence en espace métrique.
Voir la fiche →Importe ton cours et l'IA génère des flashcards en 30 secondes.
Générateur de flashcards