QCM : Topologie et convergence en espace métrique — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une distance sur un ensemble non vide ?

Elle est forcément issue d’une norme
Elle prend des valeurs strictement positives entre deux points distincts
Elle vérifie positivité, séparation, symétrie et inégalité triangulaire
Elle vérifie seulement la symétrie et l’inégalité triangulaire

Elle vérifie positivité, séparation, symétrie et inégalité triangulaire

Explication

Une distance doit satisfaire les quatre axiomes : positivité, séparation, symétrie et inégalité triangulaire. Une simple symétrie ne suffit pas, et une distance n’a pas besoin d’être issue d’une norme.

2. Comment est définie la distance discrète sur un ensemble ?

Elle est toujours égale à 1, même pour deux points identiques
Elle est définie par le produit des coordonnées des points
Elle vaut la valeur absolue de la différence des points
Elle vaut 0 si les points sont égaux et 1 sinon

Elle vaut 0 si les points sont égaux et 1 sinon

Explication

La distance discrète vaut 0 sur la diagonale et 1 dès que deux points sont distincts. Cela en fait un exemple simple de distance, souvent utilisé comme contre-exemple.

3. Qu’est-ce qu’une sphère de centre x et de rayon r dans un espace métrique ?

L’ensemble des points à distance inférieure ou égale à r de x
L’ensemble des points à distance strictement inférieure à r de x
L’ensemble des points dont la distance à x est nulle
L’ensemble des points à distance exactement égale à r de x

L’ensemble des points à distance exactement égale à r de x

Explication

Une sphère est définie par l’égalité d(x, x0)=r. La boule ouverte et la boule fermée correspondent respectivement aux inégalités strictes et larges.

4. Dans la distance discrète, comment décrit-on la boule ouverte B(x,r) lorsque 0<r≤1 ?

Elle est réduite à {x}
Elle est égale à X\{x}
Elle est égale à tout l’ensemble X
Elle est vide

Elle est réduite à {x}

Explication

Avec la distance discrète, tout point distinct de x est à distance 1, donc pour 0<r≤1 seule x appartient à la boule ouverte. Au-delà de 1, la boule devient tout X.

5. Quand un point x est-il intérieur à une partie E ?

Quand x appartient à l’adhérence de E
Quand toute boule centrée en x rencontre E
Quand il existe une boule ouverte centrée en x incluse dans E
Quand x est à distance nulle de tous les points de E

Quand il existe une boule ouverte centrée en x incluse dans E

Explication

Être intérieur signifie qu’on peut entourer x d’une boule ouverte entièrement contenue dans E. Le fait que toute boule rencontre E caractérise plutôt un point adhérent.

6. Qu’est-ce qu’un point adhérent à une partie E ?

Un point qui possède une boule ouverte incluse dans E
Un point situé à égale distance de tous les points de E
Un point dont toute boule ouverte centrée en lui rencontre E
Un point qui appartient forcément à l’intérieur de E

Un point dont toute boule ouverte centrée en lui rencontre E

Explication

Un point adhérent est défini par l’intersection de toute boule ouverte centrée en lui avec E. Cela est plus faible que d’être intérieur, car la boule n’a pas besoin d’être contenue dans E.

7. Comment caractérise-t-on une partie ouverte dans un espace métrique ?

Elle contient tous ses points adhérents
Elle est forcément bornée
Tous ses points sont intérieurs
Son complémentaire est ouvert

Tous ses points sont intérieurs

Explication

Une partie ouverte est une partie dont chaque point est intérieur. La propriété du complémentaire ouvert caractérise au contraire les parties fermées.

8. Quelle propriété est vraie pour les parties fermées ?

Toute partie fermée est dense
Une intersection quelconque de fermés est fermée
Toute partie fermée est nécessairement ouverte
Une union quelconque de fermés est toujours fermée

Une intersection quelconque de fermés est fermée

Explication

Les fermés sont stables par intersection arbitraire, et par union finie. Une union quelconque de fermés n’est pas forcément fermée.

9. Quel énoncé décrit l’adhérence d’une partie U ?

C’est l’ensemble des points de U qui ne sont pas intérieurs
C’est l’ensemble des points limites atteignables par des suites de points de U
C’est le plus petit ouvert contenant U
C’est l’ensemble des points de U qui possèdent une boule incluse dans U

C’est l’ensemble des points limites atteignables par des suites de points de U

Explication

L’adhérence regroupe les points que l’on peut approcher par des suites de points de U. Le plus petit ouvert contenant U ne définit pas l’adhérence, mais l’intérieur n’a pas non plus ce sens.

10. Quel est l’effet d’un homéomorphisme sur l’adhérence d’une partie ?

Il envoie toujours une partie fermée sur une partie ouverte
Il envoie l’adhérence de la partie sur l’adhérence de son image
Il conserve seulement l’intérieur, pas l’adhérence
Il détruit la notion de limite de suite

Il envoie l’adhérence de la partie sur l’adhérence de son image

Explication

Un homéomorphisme préserve les structures topologiques essentielles, notamment l’adhérence. Il envoie aussi les ouverts sur des ouverts et les fermés sur des fermés.

11. Comment définit-on le diamètre d’une partie E ?

Comme le nombre de points contenus dans E
Comme la distance d’un point de E au point d’origine
Comme la plus grande distance entre deux points de E
Comme la somme des distances entre tous les points de E

Comme la plus grande distance entre deux points de E

Explication

Le diamètre mesure l’étendue maximale des distances entre deux points de la partie. Il peut être infini si la partie n’est pas bornée.

12. Que peut-on dire de la topologie induite sur une partie E ?

Ses ouverts sont exactement les intersections de E avec des ouverts de l’espace ambiant
Ses ouverts sont exactement les boules ouvertes de l’espace ambiant
Elle coïncide toujours avec la topologie de l’espace ambiant
Elle ne dépend pas de la distance de l’espace ambiant

Ses ouverts sont exactement les intersections de E avec des ouverts de l’espace ambiant

Explication

La topologie induite sur E est formée des intersections entre E et les ouverts de l’espace ambiant. Cela correspond à la restriction de la structure topologique à E.

13. Quand une suite converge-t-elle vers x dans un espace métrique ?

Lorsque tout voisinage de x contient tous ses termes à partir d’un certain rang
Lorsque chaque terme est à distance constante de x
Lorsque la suite est bornée
Lorsque tous ses termes sont distincts

Lorsque tout voisinage de x contient tous ses termes à partir d’un certain rang

Explication

La convergence signifie qu’au-delà d’un certain rang, tous les termes de la suite restent dans n’importe quel voisinage de la limite. C’est l’idée séquentielle de la proximité arbitraire.

14. Que signifie l’équivalence de deux normes sur un espace vectoriel ?

L’une est toujours plus grande que l’autre sans borne
Elles ne coïncident que sur le vecteur nul
Elles définissent les mêmes notions de convergence et de continuité
Elles sont forcément égales sur tout vecteur

Elles définissent les mêmes notions de convergence et de continuité

Explication

Deux normes équivalentes engendrent les mêmes notions topologiques, donc les mêmes suites convergentes et les mêmes fonctions continues. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

15. Qu’est-ce qu’une valeur d’adhérence d’une suite ?

La limite d’une sous-suite de cette suite
Un point à distance minimale de tous les termes
Un point qui n’appartient jamais à la suite
La limite de la suite entière, si elle existe

La limite d’une sous-suite de cette suite

Explication

Une valeur d’adhérence est obtenue comme limite d’une sous-suite. Une suite peut donc avoir une valeur d’adhérence sans être convergente.

16. Que signifie la compacité séquentielle dans un espace métrique ?

Toute suite admet au moins une valeur d’adhérence
Toute partie bornée est compacte
Toute suite est nécessairement convergente
Toute suite possède une unique limite

Toute suite admet au moins une valeur d’adhérence

Explication

La compacité séquentielle signifie qu’aucune suite ne peut échapper à l’existence d’une sous-suite convergente. Cela n’implique pas que toute suite converge elle-même.

17. Quel critère séquentiel caractérise la compacité d’une partie dans un espace métrique ?

Toute suite de la partie est bornée
Toute suite de la partie admet une valeur d’adhérence dans la partie
Toute partie compacte est nécessairement ouverte
Toute suite de la partie est constante à partir d’un certain rang

Toute suite de la partie admet une valeur d’adhérence dans la partie

Explication

Dans un espace métrique, la compacité est équivalente à l’existence d’une valeur d’adhérence dans la partie pour toute suite. C’est la formulation séquentielle fondamentale de la compacité.

18. Dans un espace métrique, qu’implique la compacité d’une partie ?

La partie est ouverte et convexe
La partie est fermée et bornée
La partie admet une base finie
La partie est dense dans l’espace

La partie est fermée et bornée

Explication

Toute partie compacte d’un espace métrique est fermée et bornée. L’inverse n’est pas vrai en général hors du cadre approprié.

19. Quelle est la distance associée à une norme ||·|| ?

d(x,y)=||x+y||
d(x,y)=||x||·||y||
d(x,y)=||x-y||
d(x,y)=||x||+||y||

d(x,y)=||x-y||

Explication

La norme induit la distance par la formule d(x,y)=||x-y||. Cette distance hérite alors des propriétés métriques de la norme.

20. Que dit le théorème de Riesz dans un espace vectoriel normé ?

Toute boule ouverte est compacte
Toute partie bornée est compacte dans tout espace normé
La boule unité fermée est compacte si et seulement si l’espace est de dimension finie
Toute norme est équivalente en dimension infinie

La boule unité fermée est compacte si et seulement si l’espace est de dimension finie

Explication

Le théorème de Riesz relie la compacité de la boule unité fermée à la dimension finie. C’est un critère fondamental pour distinguer les espaces de dimension finie et infinie.

21. Quand une suite de fonctions converge-t-elle uniformément sur un ensemble E ?

Lorsqu’elle est seulement bornée sur E
Lorsqu’un même seuil convient pour tous les points de E
Lorsqu’elle converge point par point seulement
Lorsqu’elle converge en un seul point de E

Lorsqu’un même seuil convient pour tous les points de E

Explication

La convergence uniforme impose un contrôle simultané sur tout l’ensemble de définition. C’est plus fort que la convergence simple, qui peut dépendre du point considéré.

22. Quel lien existe entre convergence uniforme et continuité ?

Une suite uniformément convergente doit être constante
La convergence uniforme n’a aucun effet sur la continuité
La limite uniforme de fonctions continues est continue
La limite uniforme de fonctions continues peut être discontinue

La limite uniforme de fonctions continues est continue

Explication

La convergence uniforme préserve la continuité : une limite uniforme de fonctions continues reste continue. C’est l’un des grands avantages de cette notion.

23. Quand une application bilinéaire est-elle continue ?

Lorsqu’elle est continue en (0,0), donc partout
Uniquement si elle est symétrique
Seulement si elle est linéaire sur le produit
Seulement lorsqu’elle est continue sur une variable

Lorsqu’elle est continue en (0,0), donc partout

Explication

Pour une application bilinéaire, la continuité en (0,0) équivaut à la continuité partout. Cette propriété est spécifique au cadre bilinéaire.

24. Quel critère normé équivaut à la continuité d’une application bilinéaire f ?

Le fait que f soit symétrique
Le fait que f soit nulle sur les vecteurs de norme 1
L’existence d’une constante C telle que ||f(x1,x2)||≤C(||x1||+||x2||)
L’existence d’une constante C telle que ||f(x1,x2)||≤C||x1||||x2||

L’existence d’une constante C telle que ||f(x1,x2)||≤C||x1||||x2||

Explication

La continuité bilinéaire est équivalente à une majoration du type produit des normes. Cette estimation est précisément celle qui définit le contrôle de f par une constante C.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 24 flashcards sur Topologie et convergence en espace métrique.

Espace métrique — définition ?

Ensemble avec une distance vérifiant axiomes.

Exemple d’espace métrique

$( set, | imes|)$ avec la distance usuelle.

Boule ouverte — définition ?

Points à distance strictement inférieure à r du centre.

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