Topologie et convergence en espace métrique

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples d’espaces métriques
2. Boules ouvertes, fermées et sphères
3. Voisinages, points intérieurs et adhérents
4. Parties ouvertes et parties fermées
5. Intérieur et adhérence d’une partie
6. Parties bornées et diamètre d’une partie
7. Convergence des suites et sous-suites
8. Valeurs d’adhérence et compacité
9. Compacité dans un espace métrique
10. Normes et distance associée
11. Convergence uniforme et continuité
12. Applications bilinéaires continues

📖 1. Définition et exemples d’espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Une distance est une fonction $d:X\times X\to\mathbb{R}$ vérifiant positivité, séparation, symétrie et inégalité triangulaire.
• Espace métrique : Un espace métrique est un couple $(X,d)$ où $X$ est un ensemble non vide muni d’une distance $d$.
• Distance discrète : La distance discrète sur un ensemble $X$ vaut $1$ pour deux points distincts et $0$ sinon.
• Distances équivalentes : Deux distances $d_1$ et $d_2$ sur $X$ sont équivalentes si elles sont encadrées par des constantes positives l’une par l’autre.
• Distance induite : La distance induite sur une partie $Y\subset X$ est la restriction de $d$ à $Y\times Y$.

📝 Points essentiels