QCM : Topologie et espaces métriques (33 questions)

Explication

Ces propriétés sont précisément les axiomes définissant une topologie. La stabilité par intersections quelconques est une confusion avec une condition plus forte, tandis que la stabilité par réunion finie ne suffit pas et que les topologies discrète et grossière sont des cas particuliers.

Explication

Le complémentaire de $A$ est ouvert exactement lorsque $A$ est fermé, et fermé exactement lorsque $A$ est ouvert ; si $A$ n’a aucun de ces statuts, son complémentaire non plus. Confondre fermé et complémentaire d’un ouvert conduit à lui attribuer à tort le statut d’ouvert.

Explication

Un voisinage de $a$ contient un ouvert qui contient lui-même $a$. Il n’est pas nécessaire que le voisinage soit ouvert, et un fermé contenu dans $V$ ne répond pas à la définition.

Explication

Une distance est positive, s’annule exactement pour deux points égaux, est symétrique et satisfait l’inégalité triangulaire. L’antisymétrie et la transitivité ne remplacent pas ces propriétés, et l’inégalité triangulaire n’est pas une égalité exigée.

Explication

L’inégalité triangulaire donne $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=3+4=7$. La borne inférieure inverse le sens, la soustraction ne correspond pas à la règle et le produit donne une opération sans lien avec elle.

Explication

Une boule ouverte de rayon $5$ est définie par la condition stricte $d(a,x)<5$, donc un point à distance exactement $5$ n’y appartient pas. La condition $d(a,x)\le 5$ caractérise plutôt la boule fermée.

Explication

Un ensemble est ouvert dans la topologie induite si chacun de ses points possède une boule ouverte de rayon strictement positif incluse dans l’ensemble. La boule fermée relève d’une autre notion, la densité concerne l’adhérence, et la séparation est une propriété de l’espace métrique.

Explication

Toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée, et un espace métrique sépare deux points distincts par des voisinages ouverts disjoints. L’inversion des propriétés des boules confond leurs types, tandis que la séparation porte ici sur des ouverts.

Explication

L’intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A. L’adhérence est le plus petit fermé contenant A, la frontière est définie à partir de l’adhérence et du complémentaire de l’intérieur, et le complémentaire ne caractérise pas cet ouvert maximal.

Explication

L’adhérence regroupe les points dont tout voisinage rencontre A et constitue le plus petit fermé contenant A ; l’intérieur est le plus grand ouvert contenu dans A. Inverser ces notions confond fermé enveloppant et ouvert inclus, tandis que la frontière n’est aucune de ces deux constructions.

Explication

La distance induite sur F est la restriction de la distance ambiante aux couples de points de F, c’est-à-dire à F × F. La mise au carré ou l’ajout d’une constante définiraient d’autres fonctions, et la distance ambiante conserve son domaine E × E.

Explication

Une partie D de F est ouverte dans le sous-espace si et seulement s’il existe un ouvert A de E tel que D = A ∩ F. Le critère analogue avec un fermé caractérise les parties fermées dans F ; être ouverte dans F n’impose pas d’être ouverte dans E.

Explication

La convergence exige que, pour chaque voisinage de $l$, tous les termes à partir d’un certain rang y appartiennent. La réponse « un voisinage fixé » omet le quantificateur sur tous les voisinages, tandis que la présence de termes d’indices arbitrairement grands caractérise une valeur d’adhérence.

Explication

Dans un espace métrique, converger vers $l$ équivaut à avoir une distance à $l$ qui tend vers zéro; ici $\frac{1}{n+1}\to 0$. Une distance constante positive ne satisfait pas ce critère, et les termes n’ont pas besoin d’être égaux à leur limite.

Explication

L’adhérence de $A$ est caractérisée par les limites de suites d’éléments de $A$, donc $a\in\overline{A}$. La limite n’a pas à appartenir à $A$, et la suite n’a pas à être constante.

Explication

Une valeur d’adhérence est rencontrée dans chaque voisinage par des termes dont les indices peuvent être arbitrairement grands. La convergence de toute la suite est plus forte, et la présence d’un seul terme dans un voisinage ne suffit pas.

Explication

La continuité en $a$ signifie que chaque voisinage de $f(a)$ contient l’image des points du domaine dans un certain voisinage de $a$. L’inclusion inverse et l’égalité imposent des conditions plus fortes qui ne sont pas requises.

Explication

Une application est continue si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de l’espace d’arrivée est ouverte; le critère équivalent porte sur les images réciproques des fermés. Une image directe ouverte ou fermée n’est pas le critère général de continuité.

Explication

L’équivalence topologique signifie que les distances induisent la même topologie; l’équivalence des distances exige en plus des majorations par des multiples constants dans les deux sens. L’égalité des topologies n’implique donc ni ces majorations ni l’égalité point par point.

Explication

La continuité uniforme requiert un même $\alpha$ pour toutes les paires de points, pour chaque $\varepsilon>0$. La continuité en un point peut utiliser un choix local dépendant de ce point, tandis qu’une isométrie impose une égalité des distances.

Explication

La topologie produit est constituée des réunions d’ouverts élémentaires, chaque ouvert élémentaire étant un produit d’ouverts des facteurs. La réponse « seulement les produits » omet les réunions, tandis que les produits de fermés et les ouverts d’un seul facteur ne décrivent pas la définition.

Explication

Dans $\mathbb{R}^n$, une partie est un voisinage de $a$ si et seulement si elle contient un pavé ouvert centré en $a$. Exiger un pavé fermé modifie la caractérisation, et la réponse sur la forme de $A$ confond contenu et égalité.

Explication

La condition de Cauchy compare entre eux tous les termes suffisamment éloignés dans la suite, au-delà d’un rang donné. La convergence compare les termes à une limite, la bornitude est une propriété distincte, et la seule comparaison des termes consécutifs est insuffisante.

Explication

Un espace métrique est complet lorsque toute suite de Cauchy y converge. La bornitude ou la séparation ne garantit pas cette conclusion, et la convergence dans un espace ambiant ne suffit pas à assurer une limite dans l’espace considéré.

Explication

Dans un espace métrique complet, un sous-espace est complet si et seulement s’il est fermé dans l’espace ambiant ; un sous-espace non fermé n’est donc pas complet. La complétude de l’ambiant ne se transmet pas automatiquement à tous ses sous-espaces.

Explication

La définition exige à la fois la séparation et la propriété de sous-recouvrement fini pour les recouvrements ouverts. La réponse sans séparation omet une condition, l’intersection de fermés évoque une autre propriété, et la sous-suite convergente relève du cadre métrique.

Explication

Dans un espace compact, toute suite décroissante de fermés non vides a une intersection non vide. La condition sur les diamètres concerne une distinction métrique, l’intersection vide contredit la propriété, et l’ouverture des fermés n’est pas requise.

Explication

La compacité métrique équivaut au fait que toute suite possède une valeur d’adhérence, ou une sous-suite convergente. La complétude porte sur les suites de Cauchy, tandis qu’une valeur d’adhérence ne garantit pas la convergence de la suite entière.

Explication

Dans $\mathbb{R}^n$, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. La fermeture seule ou la bornitude seule ne suffit pas à cette caractérisation, et l’ouverture n’est pas une condition supplémentaire.

Explication

L’image continue d’une partie connexe est connexe. La compacité, l’ouverture et la fermeture ne découlent pas de cette seule propriété.

Explication

Les parties connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles, qu’ils soient ouverts, fermés, bornés ou non. La compacité concerne plutôt les intervalles fermés et bornés, et toute partie n’est pas nécessairement un intervalle.

Explication

Une norme doit s’annuler seulement au vecteur nul, en plus de satisfaire l’homogénéité et l’inégalité triangulaire. Une semi-norme n’impose pas que son noyau se réduise au vecteur nul.

Explication

La norme somme additionne les valeurs absolues : $|-2|+|5|+|-1|=2+5+1=8$. La norme maximum vaut $5$, la norme euclidienne vaut $\sqrt{30}$, et $4$ résulte ici de l’omission d’une coordonnée négative.