Fiche de révision : Topologie et espaces métriques

📋 Plan du Cours

1. Espaces topologiques et voisinages
2. Distances et espaces métriques
3. Topologie métrique et propriétés des parties
4. Sous-espaces métriques
5. Suites, limites et adhérence
6. Continuité et équivalences métriques
7. Espaces produits
8. Suites de Cauchy et complétude
9. Compacité topologique
10. Compacité métrique
11. Connexité et parties connexes
12. Espaces vectoriels normés

📖 1. Espaces topologiques et voisinages

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie : Une topologie sur un ensemble E est une famille T de parties de E contenant ∅ et E, stable par intersection finie et par réunion quelconque.
• Fermé : Un fermé d’un espace topologique est une partie dont le complémentaire est ouvert.
• Voisinage : Un voisinage de a est une partie V contenant un ouvert U tel que a ∈ U ⊂ V.
• Espace séparé : Un espace topologique est séparé si deux points distincts possèdent des voisinages disjoints.

📝 Points essentiels

• La topologie discrète est P(E), tandis que la topologie grossière est {∅, E}.

• Une partie A est ouverte si et seulement si elle est un voisinage de chacun de ses points.

💡 Astuce mémo

Ouvert et fermé ne sont pas opposés : un ensemble peut être les deux ou ni l’un ni l’autre.

📖 2. Distances et espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Une distance d sur E est une application positive sur E × E qui sépare les points, est symétrique et vérifie l’inégalité triangulaire.
• Boule ouverte : La boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est l’ensemble des x tels que d(a,x) < r.
• Isométrie : Une isométrie entre deux espaces métriques est une bijection qui préserve les distances.
• Diamètre : Le diamètre d’une partie non vide A est la borne supérieure des distances entre deux points de A.
• Partie bornée : Une partie métrique est bornée si elle est vide ou si son diamètre est fini, ce qui équivaut à être contenue dans une boule.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Toute distance vérifie $d(x,y) \le d(x,z)+d(z,y)$.

💡 Astuce mémo

La distance entre deux points forme un triangle dont chaque côté ne dépasse pas la somme des deux autres.

📖 3. Topologie métrique et propriétés des parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie induite : La topologie induite par une distance est constituée des parties qui, autour de chacun de leurs points, contiennent une boule ouverte de rayon strictement positif.
• Intérieur : L’intérieur d’une partie A est le plus grand ouvert contenu dans A.
• Adhérence : L’adhérence d’une partie A est l’ensemble des points dont tout voisinage rencontre A ; c’est aussi le plus petit fermé contenant A.
• Frontière : La frontière de A est l’intersection de son adhérence et du complémentaire de son intérieur.
• Partie dense : Une partie A est dense dans E si son adhérence est E, ce qui équivaut à rencontrer tout ouvert non vide de E.

★ À maîtriser

• Toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée et tout espace métrique est séparé.

Compléments

📌 Un point a de F est isolé dans F si un voisinage V vérifie F ∩ V = {a}, tandis qu’un point d’accumulation de F a tout voisinage qui rencontre F en une infinité de points.

📖 4. Sous-espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance induite : La distance induite sur F ⊂ E est la restriction à F × F de la distance de E.

★ À maîtriser

📌 Une partie D de F est ouverte dans F si et seulement s’il existe un ouvert A de E tel que D = A ∩ F.

Compléments

• Une boule ouverte du sous-espace F est l’intersection de F avec la boule ouverte correspondante de E.

📌 Une partie D de F est fermée dans F si et seulement s’il existe un fermé A de E tel que D = A ∩ F.

📖 5. Suites, limites et adhérence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une suite : Une suite (u_n) d’un espace séparé converge vers l si, pour tout voisinage V de l, tous ses termes à partir d’un certain rang appartiennent à V.
• Valeur d’adhérence : Une valeur d’adhérence d’une suite est un point dont tout voisinage contient des termes de la suite d’indices arbitrairement grands.

★ À maîtriser

• Dans un espace métrique, u_n converge vers l si et seulement si d(u_n,l) tend vers 0.

📌 Dans un espace métrique, a appartient à l’adhérence de A si et seulement si une suite d’éléments de A converge vers a.

Compléments

📌 Une partie d’un espace métrique est fermée si et seulement si toute suite convergente de ses éléments a sa limite dans cette partie.

📌 Dans un espace métrique, a est une valeur d’adhérence d’une suite si et seulement si une sous-suite converge vers a.

📖 6. Continuité et équivalences métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Une application f est continue en a si, pour tout voisinage V de f(a), il existe un voisinage U de a tel que f(U ∩ D_f) ⊂ V.
• Continuité uniforme : Une application est uniformément continue si, pour tout ε > 0, il existe α > 0 valable pour toutes les paires de points, tel que d(x,x′) < α entraîne δ(f(x),f(x′)) < ε.
• Homéomorphisme : Un homéomorphisme est une bijection continue dont la réciproque est continue.

★ À maîtriser

📌 Une application entre espaces topologiques est continue si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert est ouverte, équivalemment si l’image réciproque de tout fermé est fermée.

📌 Deux distances sur un même ensemble sont topologiquement équivalentes si elles induisent la même topologie, et équivalentes si chacune est majorée par un multiple constant de l’autre.

Compléments

📌 Dans des espaces métriques, f est continue en a si pour tout ε > 0 il existe α > 0 tel que d(a,x) < α entraîne δ(f(a),f(x)) < ε.

📌 Toute application lipschitzienne est uniformément continue, et une application k-lipschitzienne vérifie δ(f(x),f(x′)) ≤ k d(x,x′).

💡 Astuce mémo

La continuité choisit un rayon selon le point ; l’uniforme choisit un rayon valable pour tous.

📖 7. Espaces produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie produit : La topologie produit de plusieurs espaces topologiques est constituée des réunions d’ouverts élémentaires, lesquels sont des produits d’ouverts de chaque facteur.

📝 Points essentiels

• Un produit fini d’espaces topologiques séparés est séparé.

📐 Formule - Pour des espaces métriques (E_i,d_i), la distance $\delta_0(x,y)=\sup_i d_i(x_i,y_i)$ induit la topologie produit, tout comme les distances somme et euclidienne.

• Dans ℝⁿ, une partie est un voisinage d’un point si et seulement si elle contient un pavé ouvert centré en ce point.

📖 8. Suites de Cauchy et complétude

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Cauchy : Une suite (u_n) est de Cauchy si, pour tout ε > 0, il existe N tel que p,q ≥ N entraîne d(u_p,u_q) < ε.
• Espace complet : Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy y converge.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace métrique complet, un sous-espace est complet si et seulement s’il est fermé dans l’espace ambiant.

Compléments

• Toute suite convergente est de Cauchy, et toute suite de Cauchy est bornée.

📌 Toute valeur d’adhérence d’une suite de Cauchy est sa limite, et une suite de Cauchy a au plus une valeur d’adhérence.

📌 Dans un espace métrique complet, une suite décroissante de fermés non vides dont les diamètres tendent vers zéro a une intersection réduite à un point.

💡 Astuce mémo

Complétude + fermés emboîtés de diamètres tendant vers zéro → intersection réduite à un point.

📖 9. Compacité topologique

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace compact : Un espace topologique est compact s’il est séparé et si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.
• Partie compacte : Une partie est compacte si le sous-espace qu’elle définit, muni de la topologie induite, est compact.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace compact, toute suite décroissante de fermés non vides a une intersection non vide.

Compléments

📌 Toute partie compacte d’un espace topologique séparé est fermée, et dans un espace compact les parties compactes sont exactement les parties fermées.

📌 L’image continue d’un espace compact dans un espace séparé est compacte.

📖 10. Compacité métrique

★ À maîtriser

📌 Un espace métrique est compact si et seulement si toute suite y admet une valeur d’adhérence, équivalemment si toute suite possède une sous-suite convergente.

📌 Une partie de ℝⁿ est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Compléments

• Tout espace métrique compact et toute partie compacte d’un espace métrique sont bornés.

📌 Tout espace métrique compact est complet, et le produit fini d’espaces métriques compacts est compact.

• Dans ℝ, les parties compactes sont exactement les parties fermées et bornées.

📌 Toute partie infinie et bornée de ℝⁿ admet au moins un point d’accumulation.

📖 11. Connexité et parties connexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace connexe : Un espace topologique est connexe s’il ne peut pas être partitionné en deux ouverts non vides disjoints.
• Domaine : Un domaine est une partie ouverte et connexe d’un espace topologique.
• Continu : Un continu est une partie fermée et connexe d’un espace topologique.

★ À maîtriser

📌 L’image continue d’une partie connexe est connexe.

• Les parties connexes de ℝ sont exactement les intervalles.

Compléments

📌 Un espace est connexe si et seulement si toute fonction continue à valeurs dans {0,1} est constante.

📖 12. Espaces vectoriels normés

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme : Une norme N sur un espace vectoriel vérifie N(x)=0 seulement pour le vecteur nul, N(αx)=|α|N(x) et N(x+y)≤N(x)+N(y).
• Espace vectoriel normé : Un espace vectoriel normé est un couple formé d’un espace vectoriel et d’une norme sur cet espace.

📝 Points essentiels

• Une semi-norme vérifie l’homogénéité et l’inégalité triangulaire sans exiger que son noyau soit réduit au vecteur nul.

• Sur K, la valeur absolue est une norme, et sur Kⁿ les normes usuelles sont la somme des valeurs absolues, la racine de la somme des carrés et le maximum des valeurs absolues des coordonnées.