Topologie et espaces métriques

📋 Plan du Cours

1. Espaces topologiques et voisinages
2. Distances et espaces métriques
3. Topologie métrique et propriétés des parties
4. Sous-espaces métriques
5. Suites, limites et adhérence
6. Continuité et équivalences métriques
7. Espaces produits
8. Suites de Cauchy et complétude
9. Compacité topologique
10. Compacité métrique
11. Connexité et parties connexes
12. Espaces vectoriels normés

📖 1. Espaces topologiques et voisinages

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie : Une topologie sur un ensemble E est une famille T de parties de E contenant ∅ et E, stable par intersection finie et par réunion quelconque.
• Fermé : Un fermé d’un espace topologique est une partie dont le complémentaire est ouvert.
• Voisinage : Un voisinage de a est une partie V contenant un ouvert U tel que a ∈ U ⊂ V.
• Espace séparé : Un espace topologique est séparé si deux points distincts possèdent des voisinages disjoints.

📝 Points essentiels

• La topologie discrète est P(E), tandis que la topologie grossière est {∅, E}.