Flashcards : Topologie et espaces métriques (78 cartes)

Quelles propriétés caractérisent une topologie sur un ensemble E ?

Comment caractérise-t-on un fermé dans un espace topologique ?

Quelle condition définit un voisinage de a ?

Quelles propriétés définissent une distance sur un ensemble $E$ ?

Quelle inégalité triangulaire vérifie toute distance ?

Quelle condition caractérise les points d’une boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r>0$ ?

Comment caractériser la topologie induite par une distance autour de chacun de ses points ?

Quelles propriétés possède un espace métrique concernant ses boules et la séparation ?

Qu’est-ce que l’intérieur d’une partie A ?

Quels points appartiennent à l’adhérence d’une partie A ?

Comment caractériser l’adhérence de A parmi les fermés qui la contiennent ?

Comment définit-on la distance induite sur un sous-espace métrique F ?

Quelle condition caractérise une partie D ouverte dans F ?

Dans un espace séparé, quelle condition caractérise la convergence de $(u_n)$ vers $l$ ?

Dans un espace métrique, quelle limite caractérise la convergence de $(u_n)$ vers $l$ ?

Dans un espace métrique, quand $a$ appartient-il à l’adhérence de $A$ ?

Qu’est-ce qu’une valeur d’adhérence d’une suite ?

Comment caractériser la continuité de $f$ en $a$ par les voisinages ?

Comment caractériser la continuité topologique par les ouverts ?

Quand deux distances sur un même ensemble sont-elles topologiquement équivalentes ?

Quand deux distances sur un même ensemble sont-elles équivalentes ?

Comment caractériser la continuité uniforme d’une application ?

Comment décrire la topologie produit de plusieurs espaces topologiques ?

Quelle condition définit une suite de Cauchy dans un espace métrique ?

Quand un espace métrique est-il complet ?

Dans un espace métrique complet, quand un sous-espace est-il complet ?

À quelles conditions un espace topologique est-il compact ?

Que garantit la compacité pour une suite décroissante de fermés non vides ?

Quel critère séquentiel caractérise la compacité d’un espace métrique ?

À quelles conditions une partie de ℝⁿ est-elle compacte ?

Quand un espace topologique est-il connexe ?

Que devient l’image continue d’une partie connexe ?

Quelles sont exactement les parties connexes de $\mathbb{R}$ ?

Quelle propriété distingue une norme d’une semi-norme concernant son noyau ?

Quelle relation d’homogénéité vérifie une norme $N$ ?

Quelle inégalité triangulaire vérifie une norme $N$ ?

Quelle famille de parties constitue la topologie discrète sur E ?

Quelle famille définit la topologie grossière sur E ?

À quelle condition une partie A est-elle ouverte ?

Quand un espace topologique est-il séparé ?

Quelle propriété une isométrie entre espaces métriques préserve-t-elle ?

Comment définit-on le diamètre d’une partie non vide $A$ ?

À quelle condition une partie métrique est-elle bornée selon son diamètre ?

Comment exprimer la frontière de A à l’aide de son adhérence et de son intérieur ?

À quelle condition une partie A est-elle dense dans E ?

Qu’est-ce qui caractérise un point isolé de F ?

Comment obtenir une boule ouverte de F à partir d’une boule de E ?

Quelle condition caractérise une partie D fermée dans F ?

Dans un espace métrique, quelle propriété caractérise une partie fermée ?

Quelle caractérisation métrique exprime la continuité de $f$ en $a$ ?

Quelles propriétés définissent un homéomorphisme ?

Quelle inégalité vérifie une application $k$-lipschitzienne ?

Quelle propriété possède un produit fini d’espaces topologiques séparés ?

Quelle distance sur des espaces métriques induit la topologie produit ?

Quelles autres distances induisent la topologie produit sur des espaces métriques ?

Dans $\mathbb{R}^n$, quelle condition caractérise un voisinage d’un point ?

Quelle propriété possède toute suite convergente ?

Quelle propriété possède toute suite de Cauchy ?

Que devient toute valeur d’adhérence d’une suite de Cauchy ?

Combien de valeurs d’adhérence une suite de Cauchy peut-elle avoir au maximum ?

Que vaut l’intersection de fermés décroissants non vides de diamètres tendant vers zéro, dans un espace complet ?

Quand une partie est-elle compacte ?

Quel est le statut d’une partie compacte dans un espace topologique séparé ?

Quelles sont les parties compactes d’un espace compact ?

Que devient l’image continue d’un espace compact dans un espace séparé ?

Que peut-on affirmer de toute partie compacte d’un espace métrique concernant son bornage ?

Quelle propriété de complétude possède tout espace métrique compact ?

Quel est le statut du produit fini d’espaces métriques compacts ?

Que possède toute partie infinie et bornée de ℝⁿ ?

Qu’est-ce qu’un domaine dans un espace topologique ?

Qu’est-ce qu’un continu dans un espace topologique ?

Quelle propriété caractérise la connexité via les fonctions vers $\{0,1\}$ ?

Quelles propriétés une semi-norme vérifie-t-elle ?

Qu’est-ce qu’un espace vectoriel normé ?

Quelle fonction est une norme sur $\mathbb{K}$ ?

Quelle norme usuelle sur $\mathbb{K}^n$ additionne les valeurs absolues des coordonnées ?

Quelle norme usuelle sur $\mathbb{K}^n$ prend le maximum des valeurs absolues des coordonnées ?

Quelles parties de $\mathbb{R}$ sont compactes ?