Fiche de révision : Triangles semblables et égaux

📋 Plan du Cours

1. Définitions et rapports de similitude
2. Démontrer similitude ou égalité
3. Calculer une longueur manquante
4. Éviter les erreurs de calcul

📖 1. Définitions et rapports de similitude

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux et leurs côtés proportionnels ; ils ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille.
• Triangles égaux : Deux triangles sont superposables et ont leurs côtés et leurs angles de mêmes mesures.
• Sommets et côtés homologues : Les éléments associés aux mêmes angles dans deux triangles.
• Coefficient de proportionnalité : Le coefficient de proportionnalité $k$ est le rapport de longueurs entre deux triangles ; $k>1$ correspond à un agrandissement et $k<1$ à une réduction.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux triangles semblables $ABC$ et $DEF$, les rapports des côtés homologues sont égaux : $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=k$.

📖 2. Démontrer similitude ou égalité

★ À maîtriser

• Deux triangles sont semblables si deux paires d’angles correspondants sont égales ou si leurs côtés homologues sont proportionnels.

• Le cas CCC prouve que deux triangles sont égaux lorsque leurs trois côtés sont de même longueur deux à deux.

• Le cas CAC prouve que deux triangles sont égaux lorsque deux côtés de même longueur et l’angle compris égal sont connus.

Compléments

📌 Le cas ACA prouve que deux triangles sont égaux lorsqu’un côté de même longueur et les deux angles adjacents égaux sont connus.

📖 3. Calculer une longueur manquante

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur avec $a^2+b^2=c^2$.

• Pour calculer une longueur inconnue dans des triangles semblables, on égalise les rapports de côtés homologues puis on effectue un produit en croix.

Compléments

• Avec $\frac{3}{x}=\frac{5}{20}$, le produit en croix donne $3\times20=5\times x$, donc $x=\frac{60}{5}=12$.

📐 Formule - La simplification $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{26{,}5}}=\sqrt{\frac{106}{26{,}5}}=\sqrt{4}=2$ permet de conserver les valeurs exactes.

💡 Astuce mémo

Triangle rectangle → Pythagore ; triangles semblables → rapports égaux → produit en croix.

📖 4. Éviter les erreurs de calcul

📝 Points essentiels

📌 Pour conserver une valeur exacte, il ne faut pas utiliser une valeur arrondie : on écrit par exemple $\sqrt{106}$ plutôt que 10,3.

📌 Pour associer les côtés homologues, on les classe par ordre de grandeur et on fait correspondre petit avec petit, moyen avec moyen et grand avec grand.

💡 Astuce mémo

Aligne les côtés homologues du plus petit au plus grand : petit avec petit, grand avec grand.

📊 Tableaux de synthèse

Critères d’égalité des triangles