QCM : Trigonométrie du cercle au sinus (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression est équivalente à sin⁡(−x)\sin(-x) pour tout réel xx ?

cos⁡x\cos x
−sin⁡x-\sin x
sin⁡x\sin x
−cos⁡x-\cos x

$$-\sin x$$

Explication

Le sinus est une fonction impaire : remplacer xx par −x-x change le signe de sa valeur. En revanche, le cosinus conserve son signe pour un angle opposé, ce qui explique la distinction entre les deux fonctions.

2. Quelles sont les valeurs du cosinus et du sinus pour l’angle π3\frac{\pi}{3} ?

cos⁡(π3)=0\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=0 et sin⁡(π3)=1\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=1
cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} et sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(π3)=−1\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=-1 et sin⁡(π3)=0\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=0
cos⁡(π3)=32\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(π3)=12\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$ et $$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Explication

Pour l’angle π3\frac{\pi}{3}, le cosinus vaut 12\frac{1}{2} et le sinus vaut 32\frac{\sqrt{3}}{2}. Les valeurs inversées correspondent à l’angle π6\frac{\pi}{6}.

3. Dans quel intervalle se trouve la mesure principale d’un angle orienté ?

Dans l’intervalle [−π ; π[[-\pi\,;\,\pi[
Dans l’intervalle [0 ; 2π][0\,;\,2\pi]
Dans l’intervalle ]−2π ; 2π[]-2\pi\,;\,2\pi[
Dans l’intervalle ]−π ; π]]-\pi\,;\,\pi]

Dans l’intervalle $$]-\pi\,;\,\pi]$$

Explication

La mesure principale appartient à l’intervalle ]−π ; π]]-\pi\,;\,\pi], qui inclut π\pi mais exclut −π-\pi. L’intervalle [−π ; π[[-\pi\,;\,\pi[ inverse ces conventions aux extrémités.

4. Pour lire la mesure d’un angle orienté sur le cercle trigonométrique, quel parcours faut-il effectuer ?

Partir du point [0] et rejoindre O selon un diamètre
Partir du point [0] et suivre le sens d’orientation jusqu’à M
Partir du centre O et rejoindre M selon un rayon
Partir de M et suivre le sens d’orientation jusqu’au point [0]

Partir du point [0] et suivre le sens d’orientation jusqu’à M

Explication

La mesure se lit en partant du point [0], puis en suivant le sens d’orientation jusqu’au point d’arrivée M. Le point [0] est donc le départ, tandis que M indique l’arrivée.

5. À combien de radians correspond un tour complet sur le cercle trigonométrique ?

π2\frac{\pi}{2} radians
2π2\pi radians
π\pi radians
π4\frac{\pi}{4} radians

$$2\pi$$ radians

Explication

Un tour complet mesure 360∘360^\circ, soit 2π2\pi radians. La mesure π\pi radians correspond à un demi-tour.

6. Sur le cercle trigonométrique, que représente le sinus d’un angle orienté x ?

La distance entre O et M
L’ordonnée du point M associé à x
La mesure de l’angle en degrés
L’abscisse du point M associé à x

L’ordonnée du point M associé à x

Explication

Le sinus de x est l’ordonnée du point M associé à l’angle. L’abscisse correspond au cosinus et la distance entre O et M reste égale au rayon du cercle.

7. Sur le cercle trigonométrique, que représente le cosinus d’un angle orienté x ?

La distance entre O et M
La longueur de l’arc parcouru depuis [0]
L’abscisse du point M associé à x
L’ordonnée du point M associé à x

L’abscisse du point M associé à x

Explication

Le cosinus de x est l’abscisse du point M correspondant à cet angle sur le cercle trigonométrique. L’ordonnée de M représente le sinus, tandis que le rayon vaut 1.

8. Pour simplifier cos⁡(π+x)\cos(\pi+x), quelle transformation faut-il appliquer ?

Conserver la valeur de cos⁡x\cos x
Remplacer cos⁡x\cos x par sin⁡x\sin x
Changer le signe de cos⁡x\cos x
Changer le signe de sin⁡x\sin x

Changer le signe de $$\cos x$$

Explication

L’ajout de π\pi inverse le signe du cosinus, donc cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi+x)=-\cos x. La conservation du cosinus correspond plutôt à l’angle opposé −x-x, et non à l’angle π+x\pi+x.

9. Quelle relation est vérifiée pour tout réel x concernant le cosinus et le sinus ?

−1≤sin⁡x≤1-1\leq\sin x\leq1 et cos⁡2x−sin⁡2x=1\cos^2x-\sin^2x=1
0≤cos⁡x≤10\leq\cos x\leq1 et cos⁡x+sin⁡x=1\cos x+\sin x=1
−1≤cos⁡x≤1-1\leq\cos x\leq1 et cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1
cos⁡x≤−1\cos x\leq-1 et cos⁡2x+sin⁡2x=0\cos^2x+\sin^2x=0

$$-1\leq\cos x\leq1$$ et $$\cos^2x+\sin^2x=1$$

Explication

Les coordonnées d’un point du cercle unité vérifient cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1, et le cosinus est compris entre −1-1 et 11. La somme cos⁡x+sin⁡x\cos x+\sin x n’est pas constante et peut dépasser 1.

10. Dans un repère orthonormé orienté dans le sens direct, quelles sont les caractéristiques du cercle trigonométrique ?

Il a pour centre le point M et pour rayon 1
Il a pour centre l’origine et pour rayon 1
Il a pour centre le point [0] et pour rayon π
Il a pour centre l’origine et pour rayon 2π

Il a pour centre l’origine et pour rayon 1

Explication

Le cercle trigonométrique est centré en O, l’origine du repère, et son rayon vaut 1. La valeur 2π2\pi correspond notamment à la longueur de sa circonférence, pas à son rayon.

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Mémorisez les réponses avec 23 flashcards sur Trigonométrie du cercle au sinus.

Comment est défini le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé ?

C’est un cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens direct.

À combien de radians correspond un tour complet de 360° ?

À 2π2\pi radians.

Comment commence la lecture de la mesure d'un angle orienté ?

Au point [0] du cercle.

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