Fiche de révision : Trigonométrie et angles remarquables

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique et conversions
2. Coordonnées et fonctions trigonométriques
3. Valeurs des angles remarquables
4. Signes selon les quadrants
5. Valeurs des angles multiples de pi sur cinq
6. Propriétés et calculatrice

📖 1. Cercle trigonométrique et conversions

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre pour les angles positifs.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un tour complet correspond à $360°=2\pi$.

📐 Formule - Pour convertir un angle en radians en degrés, on multiplie par $\frac{180}{\pi}$.

Compléments

• Les conversions usuelles sont $0°=0$, $30°=\frac{\pi}{6}$, $45°=\frac{\pi}{4}$, $60°=\frac{\pi}{3}$, $90°=\frac{\pi}{2}$, $180°=\pi$, $270°=\frac{3\pi}{2}$ et $360°=2\pi$.

• La conversion de $\frac{2\pi}{3}$ radians donne $120°$.

📖 2. Coordonnées et fonctions trigonométriques

★ À maîtriser

• Le point M associé à un angle x sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées $M(\cos x,\sin x)$.

📌 Le cosinus d’un angle est l’abscisse horizontale du point associé, tandis que son sinus est l’ordonnée verticale.

Compléments

📌 Pour tout angle x, $-1\leq\cos x\leq1$ et $-1\leq\sin x\leq1$.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle, l’abscisse cosinus est horizontale et l’ordonnée sinus verticale.

📖 3. Valeurs des angles remarquables

★ À maîtriser

• Les valeurs remarquables sont $\cos 0=1$ et $\sin 0=0$ ; $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$ ; $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ ; $\cos\frac{\pi}{2}=0$ et $\sin\frac{\pi}{2}=1$.

Compléments

• Lorsque l’angle augmente de 0 à $\frac{\pi}{2}$, le sinus augmente de 0 à 1 et le cosinus diminue de 1 à 0.

💡 Astuce mémo

Dans le premier quadrant, le sinus monte de 0 à 1 tandis que le cosinus descend de 1 à 0.

📖 4. Signes selon les quadrants

📝 Points essentiels

• Dans le 1er quadrant, de 0° à 90°, le cosinus et le sinus sont positifs.

• Dans le 2e quadrant, de 90° à 180°, le cosinus est négatif et le sinus positif.

• Dans le 3e quadrant, de 180° à 270°, le cosinus et le sinus sont négatifs.

📖 5. Valeurs des angles multiples de pi sur cinq

★ À maîtriser

• Pour les angles multiples de $\frac{\pi}{5}$, les valeurs (cosinus, sinus), arrondies au millième, sont : 0 (1 ; 0), $\frac{\pi}{5}$ (0,809 ; 0,588), $\frac{2\pi}{5}$ (0,309 ; 0,951), $\frac{3\pi}{5}$ (-0,309 ; 0,951), $\frac{4\pi}{5}$ (-0,809 ; 0,588) et $\pi$ (-1 ; 0).

Compléments

📌 Les valeurs approchées peuvent être déterminées à la calculatrice en mode DEGRÉS (DEG) ou en mode RADIANS (RAD), selon l’unité de l’angle.

📖 6. Propriétés et calculatrice

★ À maîtriser

📐 Formule - Le cosinus est pair : $\cos(-x)=\cos(x)$.

📐 Formule - Le sinus est impair : $\sin(-x)=-\sin(x)$.

📌 Avant un calcul, il faut choisir DEG pour un angle exprimé en degrés et RAD pour un angle exprimé en radians.

Compléments

📐 Formule - Pour deux angles supplémentaires, $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ et $\sin(\pi-x)=\sin(x)$.

📐 Formule - Après un tour complet, le cosinus et le sinus retrouvent leurs valeurs : $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$.

• En mode DEG, $\cos(60°)=0{,}5$ et, en mode RAD, $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=0{,}5$.

💡 Astuce mémo

DEG pour les degrés, RAD pour les radians.