QCM : Trigonométrie fondamentale — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur le cercle trigonométrique, comment obtient-on le point MθM_\theta ?

En parcourant un arc de longueur θ\theta degrés depuis le point de départ
En parcourant un arc de longueur 2θ2\theta radians dans le sens trigonométrique
En parcourant un arc de longueur θ\theta radians dans le sens inverse
En parcourant un arc de longueur θ\theta radians dans le sens trigonométrique

En parcourant un arc de longueur $$\theta$$ radians dans le sens trigonométrique

Explication

Le point MθM_\theta est atteint après avoir parcouru un arc de longueur θ\theta exprimée en radians dans le sens trigonométrique. Le sens inverse correspondrait à une orientation opposée, tandis que les autres propositions modifient la longueur ou l’unité de mesure.

2. Si le point MθM_\theta a pour coordonnées (0,−1)(0, -1), quelles sont les valeurs de cos⁡(θ)\cos(\theta) et sin⁡(θ)\sin(\theta) ?

cos⁡(θ)=1\cos(\theta)=1 et sin⁡(θ)=0\sin(\theta)=0
cos⁡(θ)=0\cos(\theta)=0 et sin⁡(θ)=−1\sin(\theta)=-1
cos⁡(θ)=0\cos(\theta)=0 et sin⁡(θ)=1\sin(\theta)=1
cos⁡(θ)=−1\cos(\theta)=-1 et sin⁡(θ)=0\sin(\theta)=0

$$\cos(\theta)=0$$ et $$\sin(\theta)=-1$$

Explication

Sur le cercle trigonométrique, le cosinus est l’abscisse et le sinus est l’ordonnée du point. Les coordonnées données conduisent donc à un cosinus nul et à un sinus égal à −1-1; la confusion entre abscisse et ordonnée produit la réponse avec les rôles inversés.

3. Pour quelle condition peut-on utiliser la relation tan⁡(θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} ?

Lorsque θ\theta est un multiple entier de π\pi
Lorsque cos⁡(θ)≠0\cos(\theta)\neq 0
Lorsque cos⁡(θ)=0\cos(\theta)=0
Lorsque sin⁡(θ)≠0\sin(\theta)\neq 0

Lorsque $$\cos(\theta)\neq 0$$

Explication

La division par cos⁡(θ)\cos(\theta) est possible lorsque ce dénominateur est non nul. Si le cosinus vaut zéro, la tangente n’est pas définie, même si le sinus est alors généralement non nul.

4. Dans l’expression Asin⁡(ωt+φ)+BA\sin(\omega t+\varphi)+B, quel paramètre représente la valeur moyenne du signal ?

Le paramètre AA
Le paramètre ω\omega
Le paramètre BB
Le paramètre φ\varphi

Le paramètre $$B$$

Explication

Le terme constant BB décale verticalement le signal et en constitue la valeur moyenne. Le coefficient AA règle l’amplitude, tandis que ω\omega et φ\varphi déterminent respectivement la pulsation et le déphasage.

5. Un signal possède une fréquence ff qui augmente tandis que sa forme reste sinusoïdale. Que deviennent sa pulsation et sa période ?

La pulsation diminue et la période augmente
La pulsation et la période diminuent ensemble
La pulsation augmente et la période diminue
La pulsation et la période augmentent ensemble

La pulsation augmente et la période diminue

Explication

Les relations ω=2πf\omega=2\pi f et T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega} montrent qu’une fréquence plus élevée entraîne une pulsation plus grande et une période plus courte. La période ne varie donc pas dans le même sens que la fréquence.

6. Pour deux signaux Asin⁡(ωt)A\sin(\omega t) et Asin⁡(ωt+φ)A\sin(\omega t+\varphi), quelle expression donne le décalage temporel associé au déphasage φ\varphi ?

Δt=φω\Delta t=\varphi\omega
Δt=φω\Delta t=\frac{\varphi}{\omega}
Δt=2πφω\Delta t=\frac{2\pi}{\varphi\omega}
Δt=ωφ\Delta t=\frac{\omega}{\varphi}

$$\Delta t=\frac{\varphi}{\omega}$$

Explication

Le déphasage se convertit en décalage temporel par la relation Δt=φω\Delta t=\frac{\varphi}{\omega}. Multiplier par la pulsation ou inverser le quotient ne respecte pas le lien entre angle de phase et durée.

7. Laquelle de ces affirmations décrit correctement les bornes du sinus et du cosinus pour tout réel θ\theta ?

Ils peuvent prendre toute valeur réelle selon θ\theta
Ils appartiennent tous deux à l’intervalle [0;1][0;1]
Le sinus appartient à [−1;1][-1;1] et le cosinus à [−2;2][-2;2]
Ils appartiennent tous deux à l’intervalle [−1;1][-1;1]

Ils appartiennent tous deux à l’intervalle $$[-1;1]$$

Explication

Les coordonnées d’un point du cercle trigonométrique sont comprises entre −1-1 et 11, ce qui borne le sinus et le cosinus dans cet intervalle. La tangente, contrairement à ces deux fonctions, n’est pas bornée de cette manière.

8. Pour quelles valeurs de θ\theta la tangente n’est-elle pas définie ?

Pour θ=2kπ\theta=2k\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
Pour θ=π4+kπ\theta=\frac{\pi}{4}+k\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
Pour θ=π2+kπ\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
Pour θ=kπ\theta=k\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}

Pour $$\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$$ avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Explication

La tangente n’est pas définie lorsque le cosinus est nul, ce qui se produit pour θ=π2+kπ\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi. Les multiples de π\pi donnent au contraire un cosinus non nul et une tangente définie.

9. Quelle relation de périodicité est correcte pour la tangente ?

tan⁡(x+π)=tan⁡(x)\tan(x+\pi)=\tan(x)
tan⁡(x−π)=−tan⁡(x)\tan(x-\pi)=-\tan(x)
tan⁡(x+π2)=tan⁡(x)\tan(x+\frac{\pi}{2})=\tan(x)
tan⁡(x+2π)=2tan⁡(x)\tan(x+2\pi)=2\tan(x)

$$\tan(x+\pi)=\tan(x)$$

Explication

La tangente se répète après une variation de π\pi, d’où tan⁡(x+π)=tan⁡(x)\tan(x+\pi)=\tan(x). Une translation de π2\frac{\pi}{2} ne conserve pas la valeur de la tangente et peut même atteindre une valeur interdite.

10. Quelle égalité traduit la parité du cosinus et l’imparité du sinus et de la tangente ?

cos⁡(−x)=cos⁡(x), sin⁡(−x)=−sin⁡(x), tan⁡(−x)=−tan⁡(x)\cos(-x)=\cos(x),\ \sin(-x)=-\sin(x),\ \tan(-x)=-\tan(x)
cos⁡(−x)=cos⁡(x), sin⁡(−x)=sin⁡(x), tan⁡(−x)=−tan⁡(x)\cos(-x)=\cos(x),\ \sin(-x)=\sin(x),\ \tan(-x)=-\tan(x)
cos⁡(−x)=−cos⁡(x), sin⁡(−x)=−sin⁡(x), tan⁡(−x)=tan⁡(x)\cos(-x)=-\cos(x),\ \sin(-x)=-\sin(x),\ \tan(-x)=\tan(x)
cos⁡(−x)=−cos⁡(x), sin⁡(−x)=sin⁡(x), tan⁡(−x)=tan⁡(x)\cos(-x)=-\cos(x),\ \sin(-x)=\sin(x),\ \tan(-x)=\tan(x)

$$\cos(-x)=\cos(x),\ \sin(-x)=-\sin(x),\ \tan(-x)=-\tan(x)$$

Explication

Le cosinus est pair, tandis que le sinus et la tangente sont impairs, ce qui donne exactement ces trois relations avec −x-x. Les autres égalités attribuent à au moins une fonction une parité qui ne lui correspond pas.

11. Quelle formule exprime correctement le cosinus d’une différence de deux angles ?

cos⁡(a−b)=sin⁡(a)cos⁡(b)−cos⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)
cos⁡(a−b)=sin⁡(a)sin⁡(b)+cos⁡(a)+cos⁡(b)\cos(a-b)=\sin(a)\sin(b)+\cos(a)+\cos(b)
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)

$$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$$

Explication

La soustraction dans l’argument du cosinus produit un terme positif entre les produits de sinus. La formule avec un terme négatif correspond au cosinus d’une addition, et non d’une différence.

12. Quelle expression est une forme équivalente de cos⁡(2a)\cos(2a) ?

1−2sin⁡2(a)1-2\sin^2(a)
sin⁡(a)+cos⁡(a)\sin(a)+\cos(a)
sin⁡2(a)−cos⁡2(a)\sin^2(a)-\cos^2(a)
2sin⁡(a)cos⁡(a)2\sin(a)\cos(a)

$$1-2\sin^2(a)$$

Explication

La formule d’angle double donne notamment cos⁡(2a)=1−2sin⁡2(a)\cos(2a)=1-2\sin^2(a), qui est équivalente à cos⁡2(a)−sin⁡2(a)\cos^2(a)-\sin^2(a). L’expression 2sin⁡(a)cos⁡(a)2\sin(a)\cos(a) correspond à sin⁡(2a)\sin(2a).

13. Quelle démarche permet d’obtenir l’ensemble des solutions d’une équation trigonométrique ?

Résoudre l’équation algébrique, puis retenir la valeur située dans l’intervalle principal
Calculer une solution principale, puis utiliser la parité et la périodicité
Calculer une solution principale, puis supprimer les valeurs obtenues par périodicité
Utiliser la périodicité avant de calculer une valeur avec Arccos ou Arcsin

Calculer une solution principale, puis utiliser la parité et la périodicité

Explication

Une valeur obtenue avec Arccos ou Arcsin sert de point de départ, puis la parité et la périodicité fournissent toutes les solutions. Une solution principale ne décrit donc pas à elle seule l’ensemble infini des solutions.

14. Quelles sont les solutions de cos⁡(a)=cos⁡(b)\cos(a)=\cos(b) ?

a=b+kπa=b+k\pi ou a=−b+kπa=-b+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
a=b+2kπa=b+2k\pi ou a=π−b+2kπa=\pi-b+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
a=b+2kπa=b+2k\pi ou a=−b+2kπa=-b+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
a=b+2kπa=b+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z

$$a=b+2k\pi$$ ou $$a=-b+2k\pi$$, avec $$k\in\mathbb Z$$

Explication

Le cosinus prend la même valeur pour des angles opposés et après une translation de 2kπ2k\pi, d’où les deux familles indiquées. La relation a=π−b+2kπa=\pi-b+2k\pi appartient à la résolution d’équations de sinus, pas à cette règle du cosinus.

15. Quelle forme décrit correctement les solutions de sin⁡(a)=sin⁡(b)\sin(a)=\sin(b) ?

a=π2−b [2π]a=\frac{\pi}{2}-b\ [2\pi] ou a=π2+b [2π]a=\frac{\pi}{2}+b\ [2\pi]
a=b+2kπa=b+2k\pi ou a=−b+2kπa=-b+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
a=b [2π]a=b\ [2\pi] ou a=π−b [2π]a=\pi-b\ [2\pi]
a=b+kπa=b+k\pi ou a=π+b+kπa=\pi+b+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z

$$a=b\ [2\pi]$$ ou $$a=\pi-b\ [2\pi]$$

Explication

Deux angles ont le même sinus lorsqu’ils sont congrus à bb ou à π−b\pi-b modulo 2π2\pi. La famille avec l’angle opposé, −b+2kπ-b+2k\pi, caractérise plutôt le cosinus.

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Qu'est-ce que le cercle trigonométrique définit pour le point Mθ ?

Le point atteint après un arc de longueur θ en radians dans le sens trigonométrique.

Quelle est l'abscisse du point Mθ sur le cercle trigonométrique ?

Le cosinus de θ.

Quelle est l'ordonnée du point Mθ sur le cercle trigonométrique ?

Le sinus de θ.

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