Fiche de révision : Trigonométrie fondamentale

📋 Plan du Cours

1. Définition sur le cercle trigonométrique
2. Tracés et signaux sinusoïdaux
3. Propriétés des fonctions trigonométriques
4. Formules trigonométriques usuelles
5. Résolution des équations trigonométriques

📖 1. Définition sur le cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique définit le point Mθ comme le point atteint après un arc de longueur θ en radians dans le sens trigonométrique.
• Cosinus et sinus : Pour le point Mθ du cercle trigonométrique, cos(θ) est son abscisse, sin(θ) est son ordonnée et Mθ = (cos(θ), sin(θ)).

★ À maîtriser

📐 Formule — La tangente vérifie $\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ lorsque le cosinus est non nul.

Compléments

• Les valeurs de cosinus, sinus et tangente sont périodiques de période 2π sur le cercle trigonométrique.

💡 Astuce mémo

Un point Mθ tourne sur le cercle : son abscisse est cos(θ), son ordonnée est sin(θ).

📖 2. Tracés et signaux sinusoïdaux

★ À maîtriser

📌 Dans un signal A sin(ωt + φ) + B, A est l’amplitude, B la valeur moyenne, ω la pulsation et φ le déphasage.

📐 Formule — La pulsation, la fréquence et la période vérifient $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$.

📐 Formule — Le déphasage φ produit un décalage temporel de valeur $\Delta t=\frac{\varphi}{\omega}$ entre A sin(ωt) et A sin(ωt + φ).

Compléments

• Pour 1,4 sin(0,7t − 1,1) + 0,4, la valeur moyenne est 0,4, l’amplitude est 1,4, les crêtes vont de −1 à 1,8, la période vaut environ 9 s et le retard vaut environ 1,57 s.

💡 Astuce mémo

A-B-ω-φ : amplitude, valeur moyenne, pulsation, déphasage.

📖 3. Propriétés des fonctions trigonométriques

📝 Points essentiels

📌 Pour tout réel θ, le cosinus et le sinus appartiennent à l’intervalle [−1; 1].

📌 La tangente est définie sur R privé des nombres de la forme π/2 + kπ avec k ∈ Z, car le cosinus y est nul.

📐 Formule — Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques, tandis que la tangente est π-périodique : $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$, $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ et $\tan(x+\pi)=\tan(x)$.

📐 Formule — Le cosinus est pair, le sinus est impair et la tangente est impaire : $\cos(-x)=\cos(x)$, $\sin(-x)=-\sin(x)$ et $\tan(-x)=-\tan(x)$.

📐 Formule — Les relations fondamentales sont $\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1$ et $\cos(\theta)=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$.

• Les valeurs de référence pour θ = 0, π/6, π/4, π/3, π/2 sont respectivement cos θ = 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0 ; sin θ = 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 ; tan θ = 0, √3/3, 1, √3, non définie.

💡 Astuce mémo

Cosinus pair, sinus impair ; cosinus et sinus ont une période 2π, tangente une période π.

📖 4. Formules trigonométriques usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction sont $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$, $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$, $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$ et $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)$.

📐 Formule — Les formules d’angle double sont $\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=1-2\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1$ et $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$.

💡 Astuce mémo

Somme, différence, puis double angle.

📖 5. Résolution des équations trigonométriques

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation trigonométrique, on trouve d’abord une solution avec Arccos ou Arcsin, puis on obtient toutes les solutions grâce à la parité et à la périodicité.

📌 Pour le cosinus, $\cos(a)=\cos(b)$ équivaut à $a=b+2k\pi$ ou $a=-b+2k\pi$ avec k ∈ Z.

📌 Pour le sinus, $\sin(a)=\sin(b)$ équivaut à $a=b\ [2\pi]$ ou $a=\pi-b\ [2\pi]$.

Compléments

• L’équation cos(x)=0,7 a pour solutions x≈0,8+2kπ ou x≈−0,8+2kπ avec k ∈ Z.

• L’équation sin(x)=−√2/2 a pour solutions x=−π/4 modulo 2π ou x=5π/4 modulo 2π.

💡 Astuce mémo

Valeur principale, puis parité et périodicité.

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs et périodicités trigonométriques