Fiche de révision : Trigonométrie : formules et équations

📋 Plan du Cours

1. Valeurs du cercle trigonométrique
2. Propriétés des angles
3. Formules trigonométriques
4. Équations trigonométriques
5. Déphasage d’une combinaison

📖 1. Valeurs du cercle trigonométrique

★ À maîtriser

• Les valeurs remarquables sont sin(π/6)=1/2, cos(π/6)=√3/2, sin(π/4)=√2/2, cos(π/4)=√2/2, sin(π/3)=√3/2 et cos(π/3)=1/2.

• Sur les angles 0, π/2, π, 3π/2 et 2π, le cosinus prend respectivement les valeurs 1, 0, -1, 0 et 1, tandis que le sinus prend les valeurs 0, 1, 0, -1 et 0.

Compléments

• Sur les angles 0, π/6, π/4, π/3 et π/2, la tangente prend respectivement les valeurs 0, 1/√3, 1, √3 et non défini.

📖 2. Propriétés des angles

★ À maîtriser

📌 Le cosinus est une fonction paire, car cos(-x)=cos x, tandis que le sinus est une fonction impaire, car sin(-x)=-sin x.

📌 Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π : cos(x+2π)=cos x et sin(x+2π)=sin x.

Compléments

📌 Les relations d’angles associés comprennent cos(π-x)=-cos x, sin(π-x)=sin x, cos(π+x)=-cos x et sin(π+x)=-sin x.

📌 Les relations complémentaires sont cos(π/2-x)=sin x, sin(π/2-x)=cos x, cos(π/2+x)=-sin x et sin(π/2+x)=cos x.

💡 Astuce mémo

Cosinus pair, sinus impair : cos(-x)=cos x alors que sin(-x)=-sin x.

📖 3. Formules trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ et $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)$, $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$ et $\tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}$.

Compléments

📐 Formule — Les formules sommes-produits données sont $\cos(p)+\cos(q)=2\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)$ et $\cos(p)-\cos(q)=-2\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)$.

💡 Astuce mémo

Duplication → linéarisation → sommes-produits → produits-sommes.

📖 4. Équations trigonométriques

📝 Points essentiels

📌 Pour résoudre cos x=cos a, on utilise x≡a [2π] ou x≡-a [2π].

💡 Astuce mémo

Cosinus et sinus se résolvent modulo 2π, tandis que la tangente se résout modulo π.

📖 5. Déphasage d’une combinaison

★ À maîtriser

• Pour transformer a cos x+b sin x, on pose A=√(a²+b²), puis cos ψ=a/A et sin ψ=b/A, avant d’introduire ces rapports dans l’expression.

📐 Formule — La combinaison a cos x+b sin x peut s’écrire A cos(x-ψ), avec $A=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\psi=\frac{a}{A}$ et $\sin\psi=\frac{b}{A}$.

Compléments

📌 Après déphasage, l’équation devient cos(x-ψ)=B/√(a²+b²), puis se résout par x-ψ≡θ [2π] ou x-ψ≡-θ [2π].

💡 Astuce mémo

Normaliser a et b → introduire un angle ψ → transformer en cosinus ou sinus déphasé.