Fiche de révision : Arithmétique et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Critères de divisibilité
3. Nombres premiers et crible
4. Décomposition en facteurs premiers

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Consiste à déterminer deux entiers positifs q et r tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$.

★ À maîtriser

📌 Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, b est un diviseur de a, b divise a, a est divisible par b et a est un multiple de b.

Compléments

• Dans la division euclidienne de 47 par 6, le dividende est 47, le diviseur est 6, le quotient est 7 et le reste est 5.

• Comme $56=8\times7$, 56 est divisible par 7, 7 divise 56 et 56 est un multiple de 7.

📖 2. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

📌 Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et il est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

💡 Astuce mémo

2-5-10 se lisent aux unités ; 3-9 se calculent avec la somme des chiffres

📖 3. Nombres premiers et crible

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Le crible d'Ératosthène permet de déterminer les nombres premiers inférieurs à 100 en éliminant successivement les multiples de 2, de 3, de 5 et de 7.

Compléments

• Les nombres 2, 3 et 5 sont premiers, tandis que 4 ne l'est pas car il est divisible par 1, 2 et 4.

• La liste des nombres premiers inférieurs à 100 est : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

💡 Astuce mémo

Éliminer les multiples de 2, puis de 3, de 5 et de 7

📖 4. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Tout nombre non premier peut être décomposé en produit de facteurs premiers.

★ À maîtriser

• Pour décomposer 315, on divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles : 315 par 3, puis 105 par 3, 35 par 5 et 7 par 7, jusqu'à obtenir 1.

📐 Formule — La décomposition de 315 en facteurs premiers est $315=3\times3\times5\times7=3^2\times5\times7$.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers peut être présentée par une succession de divisions ou par un arbre de décomposition.

💡 Astuce mémo

Diviser successivement par les plus petits nombres premiers possibles

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité