Fiche de révision : Puissances et nombres décimaux

📋 Plan du Cours

1. Nombres décimaux
2. Écriture scientifique
3. Définition des puissances
4. Règles de calcul des puissances

📖 1. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ ; l’ensemble des nombres décimaux se note D.

📝 Points essentiels

• Les nombres $2{,}5 = \frac{25}{10^1}$ et $-4{,}657 = \frac{-4657}{10^3}$ sont décimaux, tandis que $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

💡 Astuce mémo

Une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.

📖 2. Écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Écriture d’un nombre décimal sous la forme $\pm a \times 10^n$ avec $a \in \mathbb{D}$, $1 \leqslant a < 10$ et $n \in \mathbb{Z}$.

📝 Points essentiels

• L’écriture scientifique de $0{,}0054$ est $5{,}4 \times 10^{-3}$.

💡 Astuce mémo

Déplacer la virgule, puis compter les puissances de 10.

📖 3. Définition des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un nombre quelconque $a$ et un entier naturel $n$, la puissance n-ième de $a$ se note $a^n$, où $n$ est l’exposant.

★ À maîtriser

📌 Pour $n \geqslant 1$, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$, et la convention est $a^0=1$ pour $a\neq 0$.

📌 Pour $a\neq 0$, une puissance d’exposant négatif vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et représente l’inverse de $a^n$.

Compléments

• On a $2^4=2\times2\times2\times2=16$ et $2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : produit répété ; exposant négatif : inverse.

📖 4. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $a$ et $b$ non nuls et pour des entiers relatifs $n$ et $m$, les règles sont $a^n\times a^m=a^{n+m}$, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$, $(a^n)^m=a^{n\times m}$, $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Compléments

• Pour calculer une expression avec des puissances, on identifie d’abord les bases ou facteurs communs, puis on applique la règle adaptée aux produits, quotients, puissances de puissances, produits ou quotients élevés à une puissance.

• L’expression $3^2\times3^{-5}$ se réécrit avec une seule puissance de base 3 en appliquant la règle du produit de puissances de même base.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne ou soustrait les exposants.

📊 Tableaux de synthèse

Exposants positifs et négatifs