QCM : Puissances et nombres décimaux — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des affirmations suivantes classe correctement ces nombres dans l’ensemble des nombres décimaux DD ?

13\frac{1}{3} appartient à DD, tandis que 2,52,5 et −4,657-4,657 n’y appartiennent pas.
2,52,5 et −4,657-4,657 appartiennent à DD, tandis que 13\frac{1}{3} n’y appartient pas.
−4,657-4,657 appartient à DD, tandis que 2,52,5 et 13\frac{1}{3} n’y appartiennent pas.
2,52,5 appartient à DD, tandis que −4,657-4,657 et 13\frac{1}{3} n’y appartiennent pas.

$$2,5$$ et $$-4,657$$ appartiennent à $$D$$, tandis que $$\frac{1}{3}$$ n’y appartient pas.

Explication

Les nombres 2,5=251012,5=\frac{25}{10^1} et −4,657=−4657103-4,657=\frac{-4657}{10^3} ont un dénominateur puissance de 1010. En revanche, 13\frac{1}{3} ne possède pas cette forme et n’appartient pas à DD.

2. Pour un entier n⩾1n\geqslant1, comment interpréter ana^n, et quelle convention s’applique à a0a^0 lorsque a≠0a\neq0 ?

ana^n est le produit de nn facteurs égaux à aa, et a0=1a^0=1.
ana^n est la somme de nn termes égaux à aa, et a0=0a^0=0.
ana^n est le produit de n+1n+1 facteurs égaux à aa, et a0=aa^0=a.
ana^n est le quotient de aa par nn, et a0a^0 n’est pas défini.

$$a^n$$ est le produit de $$n$$ facteurs égaux à $$a$$, et $$a^0=1$$.

Explication

Pour un exposant naturel non nul, la puissance correspond à une multiplication répétée de nn facteurs égaux à aa, tandis que la convention donne a0=1a^0=1 pour a≠0a\neq0. La somme répétée décrit une multiplication par un entier, pas une puissance.

3. Quelle expression correspond à la division de deux puissances de même base non nulle, anam\frac{a^n}{a^m} ?

(aa)n−m\left(\frac{a}{a}\right)^{n-m}
an−ma^{n-m}
an+ma^{n+m}
an×ma^{n\times m}

$$a^{n-m}$$

Explication

Lors d’une division de puissances de même base, les exposants se soustraient, ce qui donne an−ma^{n-m}. L’addition des exposants s’applique au produit, tandis que la multiplication concerne une puissance de puissance.

4. Quelle est l’écriture scientifique de 0,00540,0054 ?

5,4×10−35,4\times10^{-3}
54×10−454\times10^{-4}
5,4×10−25,4\times10^{-2}
0,54×10−20,54\times10^{-2}

$$5,4\times10^{-3}$$

Explication

Déplacer la virgule de 0,00540,0054 de trois rangs vers la droite donne le coefficient 5,45,4, ce qui impose l’exposant −3-3. Les écritures proposées avec un autre coefficient ne respectent pas la forme scientifique attendue.

5. Dans une écriture scientifique, dans quel intervalle le coefficient positif aa doit-il se situer ?

Il vérifie −10<a⩽10-10<a\leqslant 10.
Il vérifie 1⩽a<101\leqslant a<10.
Il vérifie 10⩽a<10010\leqslant a<100.
Il vérifie 0<a⩽10<a\leqslant 1.

Il vérifie $$1\leqslant a<10$$.

Explication

Une écriture scientifique utilise un coefficient aa compris entre 11 inclus et 1010 exclu, sous la forme ±a×10n\pm a\times10^n. Un coefficient inférieur à 11 ou supérieur ou égal à 1010 doit être réajusté par une puissance de 1010.

6. Dans la notation ana^n, comment désigne-t-on les deux éléments de cette écriture ?

aa est l’exposant et nn est la base.
aa est le facteur et nn est le quotient.
aa est le quotient et nn est le facteur.
aa est la base et nn est l’exposant.

$$a$$ est la base et $$n$$ est l’exposant.

Explication

Dans ana^n, le nombre aa est appelé la base et le nombre nn indique l’exposant. Confondre ces rôles inverse la signification de la notation.

7. Quelle réécriture de 32×3−53^2\times3^{-5} applique correctement la règle du produit de puissances de même base ?

3−33^{-3}
3103^{10}
373^7
3−103^{-10}

$$3^{-3}$$

Explication

Le produit de puissances de même base s’obtient en additionnant les exposants : 2+(−5)=−32+(-5)=-3. L’exposant 1010 correspondrait à une multiplication des exposants, règle réservée à une puissance de puissance.

8. Quelle condition caractérise un nombre décimal ?

Il peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}.
Il possède une écriture décimale comportant nécessairement une partie fractionnaire non nulle.
Il possède une écriture fractionnaire dont le numérateur est toujours égal à 11.
Il peut s’écrire sous la forme a3n\frac{a}{3^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}.

Il peut s’écrire sous la forme $$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$.

Explication

Un nombre décimal est représentable par une fraction dont le dénominateur est une puissance de 1010, avec un numérateur entier. La fraction a3n\frac{a}{3^n} ne vérifie pas cette caractérisation générale.

9. Si a≠0a\neq0, quelle expression représente une puissance d’exposant négatif a−na^{-n} ?

a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}, l’inverse de ana^n.
a−n=−ana^{-n}=-a^n, l’opposé de ana^n.
a−n=an+1a^{-n}=a^n+1, le successeur de ana^n.
a−n=anna^{-n}=\frac{a^n}{n}, le quotient de ana^n par nn.

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$, l’inverse de $$a^n$$.

Explication

Pour une base non nulle, un exposant négatif transforme la puissance en l’inverse de la puissance correspondante d’exposant positif. Il ne signifie donc ni prendre l’opposé ni ajouter une unité.

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Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Un nombre qui s'écrit sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za \in \mathbb{Z} et n∈Nn \in \mathbb{N}.

Comment note-t-on l'ensemble des nombres décimaux ?

L'ensemble des nombres décimaux se note D.

Pourquoi 2,52,5 est-il un nombre décimal ?

Parce qu'il s'écrit 25101\frac{25}{10^1}.

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