QCM : Les ensembles de nombres — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble contient les nombres utilisés pour compter, y compris zéro ?

L’ensemble des entiers relatifs, noté Z\mathbb{Z}
L’ensemble des nombres décimaux, noté D\mathbb{D}
L’ensemble des nombres rationnels, noté Q\mathbb{Q}
L’ensemble des entiers naturels, noté N\mathbb{N}

L’ensemble des entiers naturels, noté $$\mathbb{N}$$

Explication

Les entiers naturels servent à compter et comprennent zéro ; leur ensemble est noté N\mathbb{N}. Les entiers relatifs incluent aussi les nombres négatifs, tandis que Q\mathbb{Q} et D\mathbb{D} désignent d’autres ensembles.

2. Lequel de ces nombres appartient aux entiers relatifs mais pas aux entiers naturels ?

88
00
2525
−14-14

$$-14$$

Explication

−14-14 est un entier négatif, donc il appartient aux entiers relatifs et pas aux entiers naturels. Les nombres 00, 88 et 2525 sont des entiers naturels.

3. Quelle caractéristique permet de reconnaître un nombre décimal ?

Son écriture décimale comporte une infinité de chiffres répétitifs.
Il s’écrit comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul.
Son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.
Il possède nécessairement une partie entière négative.

Son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

Explication

Un nombre décimal possède une écriture décimale qui s’arrête, comme 1,51,5. Une écriture infinie et répétitive caractérise notamment certains nombres rationnels, mais ne correspond pas à une écriture décimale finie.

4. Lequel des nombres suivants est un nombre décimal ?

27\frac{2}{7}
1,51,5
2\sqrt{2}
13\frac{1}{3}

$$1,5$$

Explication

1,51,5 est un nombre décimal parce que son écriture comporte un nombre fini de chiffres après la virgule. Les fractions 13\frac{1}{3} et 27\frac{2}{7} ont une écriture décimale infinie, tandis que 2\sqrt{2} est irrationnel.

5. Quelle condition définit un nombre rationnel ?

Il possède une écriture décimale qui s’arrête après quelques chiffres.
Il est nécessairement représenté par une racine carrée non entière.
Il ne peut pas s’écrire comme quotient de deux nombres entiers.
Il peut s’écrire sous la forme AB\frac{A}{B}, avec AA et BB entiers et B≠0B\neq0.

Il peut s’écrire sous la forme $$\frac{A}{B}$$, avec $$A$$ et $$B$$ entiers et $$B\neq0$$.

Explication

Un nombre rationnel est un quotient AB\frac{A}{B} de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul. Une écriture décimale finie est possible pour certains rationnels, mais elle ne constitue pas la définition générale.

6. Pourquoi 13\frac{1}{3} est-il un nombre rationnel malgré son écriture décimale infinie ?

Parce que son écriture décimale contient un nombre fini de chiffres répétitifs.
Parce qu’il est le quotient de deux entiers et que son dénominateur est non nul.
Parce que toute écriture décimale infinie représente un nombre rationnel.
Parce qu’il est égal à un nombre entier après arrondi.

Parce qu’il est le quotient de deux entiers et que son dénominateur est non nul.

Explication

13\frac{1}{3} est rationnel car il s’écrit comme le quotient des entiers 11 et 33, avec un dénominateur non nul. Son écriture décimale infinie et répétitive n’empêche donc pas son appartenance à Q\mathbb{Q}.

7. Quelle propriété caractérise l’écriture décimale d’un nombre irrationnel ?

Elle est infinie et présente une suite répétitive
Elle est finie et présente une suite répétitive
Elle est infinie et ne présente pas de suite répétitive
Elle est entière et ne comporte pas de partie décimale

Elle est infinie et ne présente pas de suite répétitive

Explication

Un nombre irrationnel possède une écriture décimale infinie sans période répétitive. Une écriture décimale infinie et périodique caractérise au contraire un nombre rationnel, comme 13\frac{1}{3}.

8. Laquelle des affirmations décrit correctement le nombre 2\sqrt{2} ?

Il est irrationnel et vérifie x2=−2x^2=-2
Il est transcendant et vérifie x2=2x^2=2
Il est irrationnel et vérifie x2=2x^2=2
Il est rationnel et vérifie x2=2x^2=2

Il est irrationnel et vérifie $$x^2=2$$

Explication

2\sqrt{2} est irrationnel et constitue une solution de l’équation x2=2x^2=2. Le nombre 13\frac{1}{3} est rationnel malgré son écriture décimale infinie périodique.

9. Quel ensemble regroupe à la fois les nombres rationnels et les nombres irrationnels ?

L’ensemble des nombres irrationnels, noté I\mathbb{I}
L’ensemble des nombres entiers, noté Z\mathbb{Z}
L’ensemble des nombres réels, noté R\mathbb{R}
L’ensemble des nombres complexes, noté C\mathbb{C}

L’ensemble des nombres réels, noté $$\mathbb{R}$$

Explication

Les nombres réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels, et cet ensemble se note R\mathbb{R}. L’ensemble Z\mathbb{Z} ne contient que les nombres entiers relatifs.

10. Comment peut-on caractériser un nombre transcendant ?

Il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers
Il est nécessairement une racine carrée d’un entier
Il est solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers
Il possède une écriture décimale infinie et périodique

Il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers

Explication

Un nombre transcendant n’est pas algébrique et ne satisfait aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Être solution d’un tel polynôme caractérise au contraire un nombre algébrique.

11. Pourquoi 2\sqrt{2} est-il considéré comme un nombre algébrique ?

Parce qu’il ne satisfait aucune équation polynomiale entière
Parce que son écriture décimale est infinie et périodique
Parce qu’il est une solution complexe de x2=−1x^2=-1
Parce qu’il satisfait l’équation polynomiale x2=2x^2=2

Parce qu’il satisfait l’équation polynomiale $$x^2=2$$

Explication

2\sqrt{2} est algébrique puisqu’il est solution de l’équation polynomiale x2=2x^2=2, dont les coefficients sont entiers. L’absence de toute équation polynomiale satisfaite correspond à la définition d’un nombre transcendant.

12. Quelle forme générale définit un nombre complexe ?

A+iBA+iB, avec AA et BB entiers naturels
A−BA-B, avec AA et BB complexes
A+BA+B, avec AA et BB irrationnels
A+iBA+iB, avec AA et BB réels

$$A+iB$$, avec $$A$$ et $$B$$ réels

Explication

Un nombre complexe s’écrit A+iBA+iB, où AA et BB sont des nombres réels, et l’ensemble correspondant se note C\mathbb{C}. Imposer que les coefficients soient entiers naturels décrit une classe plus restreinte que l’ensemble des complexes.

13. Quelle équation caractérise le nombre complexe ii ?

x2=0x^2=0
x2=1x^2=1
x2=2x^2=2
x2=−1x^2=-1

$$x^2=-1$$

Explication

Le nombre ii est défini comme une solution complexe de l’équation x2=−1x^2=-1. Dans les nombres réels, le carré d’un nombre ne peut pas être négatif.

14. Quelle chaîne décrit correctement les inclusions entre les principaux ensembles numériques ?

N⊂D⊂Z⊂R⊂Q⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{C}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂C⊂R\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{R}
C⊂R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{C} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

Explication

Chaque ensemble est inclus dans le suivant selon la chaîne allant des naturels aux complexes : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}. La chaîne inversée confond le sens des inclusions et ne décrit donc pas la hiérarchie numérique correcte.

15. Dans quels ensembles le nombre 11 est-il inclus ?

Dans Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R} et C\mathbb{C}, mais pas dans N\mathbb{N}
Dans N\mathbb{N}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}, mais pas dans Z\mathbb{Z} ni C\mathbb{C}
Dans N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R} et C\mathbb{C}
Dans N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} et C\mathbb{C}, mais pas dans D\mathbb{D} ni R\mathbb{R}

Dans $$\mathbb{N}$$, $$\mathbb{Z}$$, $$\mathbb{D}$$, $$\mathbb{Q}$$, $$\mathbb{R}$$ et $$\mathbb{C}$$

Explication

Le nombre 11 appartient aux naturels, et les inclusions successives l’intègrent alors aux entiers relatifs, aux décimaux, aux rationnels, aux réels et aux complexes. L’exclusion de N\mathbb{N} est incorrecte, car 11 est un entier naturel.

Révisez avec les flashcards

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Que sont les entiers naturels ?

Ce sont les nombres utilisés pour compter, incluant 0.

Comment se note l'ensemble des entiers naturels ?

L'ensemble se note N.

Que regroupent les entiers relatifs ?

Ils regroupent les entiers positifs et négatifs.

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