Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Nombres décimaux
3. Nombres rationnels
4. Nombres irrationnels et réels
5. Nombres algébriques et transcendants
6. Nombres complexes
7. Inclusion des ensembles numériques

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres utilisés pour compter, incluant 0, et leur ensemble se note N.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs regroupent les entiers positifs et les entiers négatifs, comme -5, -200 et -14, et leur ensemble se note Z.

💡 Astuce mémo

Naturels : compter ; relatifs : compter aussi les dettes

📖 2. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombre dont l’écriture décimale s’arrête, comme 1,5, et dont l’ensemble se note D.

📝 Points essentiels

• Le nombre 1,5 est un nombre décimal composé d’un entier et de la moitié d’un entier.

💡 Astuce mémo

Un partage décimal dont l’écriture s’arrête après la virgule

📖 3. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient A/B, où A et B sont des entiers relatifs et où B est non nul, et dont l’ensemble se note Q.

📝 Points essentiels

• Le nombre 1/3 est rationnel, car il s’écrit comme le quotient de deux entiers, même si son écriture décimale est infinie et répétitive.

💡 Astuce mémo

Q comme quotient

📖 4. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Nombres réels dont l’écriture décimale est infinie et ne présente pas de suite répétitive.
• Nombres réels : Nombres qui regroupent les nombres rationnels et irrationnels, et dont l’ensemble se note R.

📝 Points essentiels

• Le nombre √2 est irrationnel et vérifie $x^2 = 2$.

💡 Astuce mémo

Rationnel : décimales périodiques ; irrationnel : décimales sans période

📖 5. Nombres algébriques et transcendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres transcendants : Nombres qui ne sont pas algébriques et qui ne sont solutions d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

📝 Points essentiels

• Le nombre √2 est algébrique, car il est solution de l’équation polynomiale $x^2 = 2$.

• Le nombre π est transcendant, car il n’existe aucune équation polynomiale à coefficients entiers dont π soit solution.

💡 Astuce mémo

Algébrique : solution d’un polynôme ; transcendant : aucune solution polynomiale

📖 6. Nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres complexes : Nombres de la forme A + iB, où A et B sont des nombres réels, et dont l’ensemble se note C.
• Unité imaginaire : Solution complexe de l’équation $x^2 = -1$.

📝 Points essentiels

📌 Dans les nombres réels, le produit d’un nombre par lui-même ne peut pas être égal à -1, car un nombre positif multiplié par lui-même donne un résultat positif et un nombre négatif multiplié par lui-même donne aussi un résultat positif.

💡 Astuce mémo

Comme x² = -1 n’a pas de solution réelle, on introduit i et les complexes

📖 7. Inclusion des ensembles numériques

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre ensembles numériques suivent la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Compléments

• Le nombre 1 appartient aux ensembles suivants:
  • entiers naturels
  • entiers relatifs
  • nombres décimaux
  • rationnels
  • réels
  • complexes

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

📊 Tableaux de synthèse

Classification des ensembles numériques