Fiche de révision : Trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Fonctions circulaires fondamentales
2. Cercle trigonométrique et valeurs
3. Formules d’addition et duplication
4. Linéarisation et factorisation
5. Congruences modulo 2π
6. Équations et inéquations trigonométriques

📖 1. Fonctions circulaires fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cosinus : Définie, continue et dérivable sur ℝ, vérifie $\cos'(x)=-\sin(x)$, est 2π-périodique et paire.
• Fonction sinus : Définie, continue et dérivable sur ℝ, vérifie $\sin'(x)=\cos(x)$, est 2π-périodique et impaire.
• Fonction tangente : Définie sur $D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$ par $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, et vérifie $\tan'(x)=1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$.

💡 Astuce mémo

Cosinus pair, sinus et tangente impairs

📖 2. Cercle trigonométrique et valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé direct.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel θ, $\cos^2(θ)+\sin^2(θ)=1$.

• Les valeurs remarquables sont $\cos(0)=1$, $\sin(0)=0$ et $\tan(0)=0$ ; $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6})=\frac12$ et $\tan(\frac{\pi}{6})=\frac1{\sqrt3}$ ; $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}$ et $\tan(\frac{\pi}{4})=1$ ; $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac12$, $\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\tan(\frac{\pi}{3})=\sqrt3$ ; $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$ et la tangente est non définie.

💡 Astuce mémo

Un point du cercle unité porte les coordonnées (cos θ, sin θ)

📖 3. Formules d’addition et duplication

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ et $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$.

📐 Formule — Les formules de différence sont $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ et $\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$.

Compléments

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)$ et $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$.

📖 4. Linéarisation et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Linéarisation : Transformer un produit en une somme afin de simplifier l’expression.
• Factorisation : Transformer une somme en un produit, notamment pour ramener une équation produit nul à deux équations plus simples.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules de linéarisation sont $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$, $\sin a\sin b=\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$, $\sin a\cos b=\frac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$ et $\cos a\sin b=\frac12[\sin(a+b)-\sin(a-b)]$.

📐 Formule — Les formules de factorisation sont $\cos p+\cos q=2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$, $\sin p+\sin q=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$, $\cos p-\cos q=-2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$ et $\sin p-\sin q=2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$.

💡 Astuce mémo

Linéariser transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit

📖 5. Congruences modulo 2π

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo 2π : Deux réels a et b sont congrus si $a=b+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

📝 Points essentiels

📌 De $3x\equiv3a\ [2\pi]$, on déduit $x=a+\frac{2k\pi}{3}$ avec $k\in\mathbb{Z}$, et non simplement $x\equiv a\ [2\pi]$.

💡 Astuce mémo

Ajouter 2kπ conserve la position angulaire

📖 6. Équations et inéquations trigonométriques

★ À maîtriser

📌 L’équation $\cos x=\cos a$ équivaut à $x=a+2k\pi$ ou $x=-a+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

📌 L’équation $\tan x=\tan a$, pour x et a dans le domaine de définition, équivaut à $x=a+k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

Compléments

📌 Les cas particuliers sont $\cos x=0\iff x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ et $\sin x=0\iff x=k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

• Pour résoudre une inéquation trigonométrique simple, on utilise le cercle trigonométrique ; dans les cas plus complexes, on peut compléter par un tableau de signes.

💡 Astuce mémo

Cosinus : ±a ; sinus : a ou π−a ; tangente : a à kπ près

📊 Tableaux de synthèse

Équations trigonométriques usuelles