Fiche de révision : Trinômes et équations dans R

📋 Plan du Cours

1. Étude des trinômes du second degré
2. Équations et inéquations dans R

📖 1. Étude des trinômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Expression $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, dont la fonction associée est $f(x)=ax^2+bx+c$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme canonique du trinôme est $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$, où $\Delta=b^2-4ac$ est le discriminant.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $f(x)=0$ n’a pas de solution dans R et le signe de $f$ est celui de $a$ ; si $\Delta=0$, elle possède une seule solution $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $f(x)=a(x-\alpha)^2$, avec un signe égal à celui de $a$.

📌 Si $\Delta>0$, l’équation $f(x)=0$ possède deux solutions $\alpha=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\beta=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, la factorisation est $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$, et le signe est celui de $a$ sur les intervalles extérieurs et celui de $-a$ entre $\alpha$ et $\beta$.

Compléments

• Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est essentiel pour étudier les solutions et le signe d’un trinôme.

💡 Astuce mémo

Le discriminant Δ détermine les solutions, la factorisation et le signe du trinôme.

📖 2. Équations et inéquations dans R

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre $|A(x)|=|B(x)|$, on résout $A(x)=B(x)$ ou $A(x)=-B(x)$.

📌 Pour résoudre $|A(x)|=B(x)$, il faut $B(x)\ge0$ et résoudre $A(x)=B(x)$ ou $A(x)=-B(x)$.

📌 Pour résoudre $\sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)}$, il faut $A(x)\ge0$, $B(x)\ge0$ et $A(x)=B(x)$.

📌 Pour résoudre $|A(x)|\ge B(x)$, on distingue les cas $B(x)\le0$, ou $B(x)\ge0$ avec $A(x)\ge B(x)$ ou $A(x)\le-B(x)$.

Compléments

📌 Pour résoudre $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$, on a soit $B(x)\le0$, soit $0\le A(x)$, $0\le B(x)$ et $A(x)\ge B^2(x)$.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue : encadrement ou disjonction ; racine carrée : positivité puis comparaison.