Fiche de révision : Modélisation des systèmes asservis

📋 Plan du Cours

1. Commande en boucle ouverte et fermée
2. Structure des systèmes asservis
3. Performances d’un système asservi
4. Modélisation des systèmes dynamiques
5. Hypothèses des systèmes SLCI
6. Transformée de Laplace
7. Fonctions usuelles et convolution
8. Échelon et fonctions élémentaires
9. Convolution et fonction de transfert
10. Valeurs initiale et finale
11. Transformée de Laplace inverse
12. Représentation par schémas-blocs

📖 1. Commande en boucle ouverte et fermée

🔑 Notions clés & Définitions

• Système automatisé : Réalise des opérations pour lesquelles l’intervention humaine est limitée à la programmation et au réglage préalable du système.
• Système de commande : Système dont la vocation est de piloter un processus afin d’améliorer son comportement et ses performances.

★ À maîtriser

📌 Une commande en boucle ouverte ne dépend pas des signaux de sortie, tandis qu’une commande en boucle fermée utilise une mesure de la sortie pour adapter la commande.

Compléments

📌 La boucle ouverte est simple et peu coûteuse, mais elle exige une connaissance parfaite du processus et des perturbations et reste très sensible aux aléas.

• Dans le chauffage d’une pièce réglée à 20 °C, l’ouverture d’une fenêtre froide constitue une perturbation qui fait probablement diminuer la température en boucle ouverte.

💡 Astuce mémo

Ouverte = prévoir sans mesurer ; fermée = mesurer pour corriger.

📖 2. Structure des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Système asservi : Associe un processus, des capteurs et un système de commande afin de piloter, à partir de consignes, une ou plusieurs grandeurs physiques du processus.

★ À maîtriser

• 🔄 Le fonctionnement de la chaîne de commande suit les étapes suivantes:
  1. Le capteur mesure la grandeur asservie
  2. L’adaptateur met la consigne sous une forme comparable
  3. Le comparateur calcule l’écart
  4. Le régulateur élabore la commande
  5. L’amplificateur augmente le niveau d’énergie

📌 La régulation maintient une sortie constante malgré les perturbations, tandis que l’asservissement fait suivre à la sortie une consigne évolutive.

Compléments

• Dans le processus, le pré-actionneur module l’énergie de l’actionneur à partir de la commande, l’actionneur convertit l’énergie, les transmetteurs l’acheminent vers l’effecteur et les perturbations s’appliquent sur l’effecteur.

💡 Astuce mémo

Consigne → comparaison → régulation → amplification → processus → mesure.

📖 3. Performances d’un système asservi

🔑 Notions clés & Définitions

• Système causal : Sa réponse à un instant donné ne dépend que des entrées précédant cet instant.
• Stabilité : Toute entrée bornée produit une sortie bornée, ce qui traduit une convergence temporelle vers un état d’équilibre.
• Temps de réponse à 5 % : Le temps de réponse à 5 %, noté t5%, est le temps nécessaire pour que la réponse à un échelon entre définitivement dans une bande à ±5 % de sa valeur finale.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’erreur ε(t) est la différence entre la consigne e(t) et la sortie s(t) : $\varepsilon(t)=e(t)-s(t)$.

📐 Formule — L’erreur statique est la limite au temps long de l’erreur associée à une réponse indicielle : $\varepsilon_S=\lim_{t\to +\infty}\varepsilon(t)$.

📌 Un système insensible aux perturbations peut subir un transitoire mais retrouve la même valeur finale, tandis qu’un système sensible atteint une valeur finale différente.

💡 Astuce mémo

SPRR : stabilité, précision, rapidité, robustesse.

📖 4. Modélisation des systèmes dynamiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle mathématique : Regroupe les lois mathématiques qui régissent la causalité entre ses entrées et ses sorties.

★ À maîtriser

📌 Un modèle de connaissance est construit analytiquement à partir des lois physiques, tandis qu’un modèle de comportement est obtenu par identification expérimentale.

• La modélisation dynamique consiste à modéliser les entrées, modéliser le système global, simuler son comportement puis analyser l’évolution de la sortie simulée.

Compléments

📌 Un modèle fiable doit trouver un compromis entre précision suffisante pour représenter la réalité et simplicité suffisante pour permettre une analyse non inutilement complexe.

💡 Astuce mémo

Modéliser → simuler → analyser, avec un compromis précision-complexité.

📖 5. Hypothèses des systèmes SLCI

🔑 Notions clés & Définitions

• Système continu : Fonctions définissant ses entrées et ses sorties continues et définies pour tout instant.
• Système linéaire : Système continu décrit par des équations différentielles linéaires et vérifiant les principes de proportionnalité et de superposition.
• Système invariant : Ses caractéristiques et propriétés régissant son comportement sont invariables dans le temps.
• Système mono-variable : Possède une seule entrée et une seule sortie.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un système linéaire, une combinaison linéaire des entrées produit la combinaison linéaire des réponses : $H(\alpha_1e_1+\alpha_2e_2)=\alpha_1H(e_1)+\alpha_2H(e_2)$.

Compléments

📐 Formule — Sous les hypothèses SLCI, la relation entrée-sortie s’écrit comme une équation différentielle linéaire à coefficients constants, avec un ordre n vérifiant $n\ge m$ pour être physiquement réalisable.

💡 Astuce mémo

SLCI : continu, linéaire, invariant ; étudié ici en SISO.

📖 6. Transformée de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : Pour une fonction causale f continue par morceaux sur R+, la transformée de Laplace est $F(p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)\,dt$ lorsque l’intégrale converge.
• Échelon unité : La fonction de Heaviside vaut $u(t)=0$ si t<0 et $u(t)=1$ si t≥0, et permet de rendre causale une fonction en la multipliant par u(t).

★ À maîtriser

📐 Formule — La transformée de Laplace est linéaire : $\mathcal{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(p)+\beta G(p)$.

📐 Formule — La transformée de Laplace d’une dérivée première est $\mathcal{L}\left[\frac{df}{dt}\right]=pF(p)-f(0)$.

Compléments

📐 Formule — Pour une intégrale de valeur initiale nulle, $\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right]=\frac{F(p)}{p}$.

📐 Formule — Le retard temporel de τ vérifie $\mathcal{L}[f(t-\tau)]=e^{-p\tau}F(p)$ pour le signal retardé causal.

📐 Formule — La modulation par e^{-at} vérifie $\mathcal{L}[f(t)e^{-at}]=F(p+a)$.

💡 Astuce mémo

Temps → Laplace algébrique → décomposition → retour temporel.

📖 7. Fonctions usuelles et convolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de convolution : Le produit de convolution de deux fonctions f et g est défini par $(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La transformée de Laplace de l’impulsion unité de Dirac est $\mathcal{L}[\delta(t)]=1$.

📐 Formule — La transformée de Laplace de l’échelon unitaire est $\mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{p}$.

📐 Formule — La transformée de Laplace d’un produit de convolution est le produit des transformées : $\mathcal{L}[(f*g)(t)]=F(p)G(p)$.

Compléments

📐 Formule — Pour une rampe a t u(t), la transformée de Laplace est $\frac{a}{p^2}$.

📖 8. Échelon et fonctions élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelon unitaire : ou fonction de Heaviside, est défini par $u(t)=1$ si $t\geq 0$ et $u(t)=0$ sinon.

📝 Points essentiels

• La table des fonctions élémentaires associe notamment la rampe $at$ à $a/p^2$, la puissance $t^n$ à $n!/p^{n+1}$, l’exponentielle $e^{-at}$ à $1/(p+a)$, le sinus $\sin(\omega t)$ à $\omega/(p^2+\omega^2)$ et le cosinus $\cos(\omega t)$ à $p/(p^2+\omega^2)$.

📖 9. Convolution et fonction de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : d’un système est le rapport $H(p)=S(p)/E(p)$ entre la transformée de Laplace de la sortie et celle de l’entrée.

★ À maîtriser

📐 Formule — La transformée de Laplace d’un produit de convolution vérifie $\mathcal{L}[(f*g)(t)]=F(p)G(p)$.

📌 Les pôles de H(p) sont les racines qui annulent le dénominateur D(p), tandis que les zéros sont les racines du numérateur N(p).

Compléments

📐 Formule — Pour une entrée e(t) et une réponse impulsionnelle h(t), la sortie vérifie $s(t)=(e*h)(t)$ et donc $S(p)=E(p)H(p)$.

💡 Astuce mémo

Entrée convoluée avec la réponse impulsionnelle → sortie du système

📖 10. Valeurs initiale et finale

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f est causale et si la transformée de Laplace de sa dérivée existe, sa valeur initiale vérifie $\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{p\to\infty}pF(p)$.

📐 Formule — Si f admet une limite finie à l’infini et si la transformée de Laplace de sa dérivée existe, sa valeur finale vérifie $\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)$.

📌 Le théorème de la valeur finale ne s’applique que si le système est stable, c’est-à-dire si les pôles de $pF(p)$ ont des parties réelles négatives.

Compléments

📌 Le théorème de la valeur initiale s’applique à une fonction causale, ce qui se traduit pour une fraction rationnelle par un degré du numérateur inférieur à celui du dénominateur.

💡 Astuce mémo

Initiale : p→∞ ; finale : p→0

📖 11. Transformée de Laplace inverse

★ À maîtriser

• Pour inverser une fraction rationnelle, on vérifie la causalité, on factorise le dénominateur, on choisit la forme de la décomposition, on détermine les coefficients, puis on identifie les transformées élémentaires et on assemble les contributions temporelles.

📌 La causalité impose $\deg N(p)\leq\deg D(p)$ ; si cette condition n’est pas satisfaite, on effectue la division de N(p) par D(p).

Compléments

📐 Formule — Pour un pôle réel a de multiplicité K, le coefficient de plus haut degré vaut $A_K=\lim_{p\to a}(p-a)^K\frac{N(p)}{D(p)}$.

📐 Formule — Pour des pôles complexes conjugués $z=\alpha+j\beta$ et $\bar z=\alpha-j\beta$, on utilise $p^2+bp+c$ avec $b=-2\alpha$ et $c=\alpha^2+\beta^2$.

• Pour l’équation $y''+6y'+5y=3$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=2$, la transformée inverse donne $y(t)=3/5+e^{-t}-(3/5)e^{-5t}$.

💡 Astuce mémo

Causalité → factorisation → forme → coefficients → identification

📖 12. Représentation par schémas-blocs

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma-blocs : représente graphiquement un système linéaire en associant à chaque bloc la fonction de transfert du constituant qu’il représente.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une chaîne directe H(p) et une chaîne de retour G(p), la fonction de transfert en boucle fermée est $\mathrm{FTBF}(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{H(p)}{1+H(p)G(p)}$.

📐 Formule — La fonction de transfert en boucle ouverte est $\mathrm{FTBO}(p)=H(p)G(p)$, et, avec un retour unitaire $G(p)=1$, la chaîne directe est égale à la FTBO.

Compléments

• Les éléments fondamentaux d’un schéma-blocs sont:
  • le bloc
  • la flèche
  • le comparateur
  • le sommateur
  • le branchement

📐 Formule — L’association en série de blocs de fonctions H_1(p), H_2(p) et H_3(p) a pour fonction équivalente $H(p)=H_1(p)H_2(p)H_3(p)$.

📐 Formule — L’association parallèle représentée par H_1(p), H_2(p) et un retour soustractif H_3(p) a pour fonction équivalente $H(p)=H_1(p)+H_2(p)-H_3(p)$.

• Pour un système à plusieurs entrées, le théorème de superposition consiste à annuler successivement toutes les entrées sauf une, calculer les transmittances partielles, puis les additionner.

💡 Astuce mémo

Boucle ouverte : H(p)G(p) ; boucle fermée : H(p)/(1+H(p)G(p))

📊 Tableaux de synthèse

Boucles de commande

Valeurs asymptotiques