Fiche de révision : Troisième identité remarquable

📋 Plan du Cours

1. Formule et démonstration algébrique
2. Développer une somme et différence
3. Factoriser une différence de carrés
4. Pièges et limites de l’identité

📖 1. Formule et démonstration algébrique

★ À maîtriser

📐 Formule - La troisième identité remarquable, aussi appelée différence de deux carrés, s’écrit $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ et permet de développer un produit ou de factoriser une différence de carrés.

Compléments

• La double distributivité donne $(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2$ ; comme $ab=ba$, les termes $-ab$ et $+ba$ s’annulent, ce qui établit l’identité pour tous nombres a et b.

💡 Astuce mémo

Les termes croisés −ab et +ba s’annulent, contrairement au carré d’une différence.

📖 2. Développer une somme et différence

★ À maîtriser

• Pour développer avec l’identité, il faut repérer une somme multipliée par une différence, identifier a et b, puis appliquer $a^2-b^2$.

Compléments

• Le développement de $(2x+3)(2x-3)$ est $4x^2-9$, car a=2x et b=3.

• Dans le développement précédent, $(2x)^2=4x^2$ et non $2x^2$.

💡 Astuce mémo

Repérer, identifier a et b, puis appliquer les carrés.

📖 3. Factoriser une différence de carrés

★ À maîtriser

• Pour factoriser avec l’identité, vérifier que l’expression est une différence de deux carrés, écrire chaque terme sous la forme d’un carré, puis utiliser $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Compléments

• La factorisation de $9x^2-25$ est $(3x+5)(3x-5)$, car $9x^2=(3x)^2$ et $25=5^2$.

📖 4. Pièges et limites de l’identité

📝 Points essentiels

📌 Une somme de carrés comme $x^2+9$ ne se factorise pas avec l’identité de la différence de deux carrés, qui exige une soustraction entre les carrés.

📌 La troisième identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ ne comporte pas de terme en ab, contrairement à $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. - sherpas

💡 Astuce mémo

La différence de carrés se factorise ; la somme de carrés ne le fait pas avec cette identité.