QCM : Troisième identité remarquable (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour développer le produit (3y+4)(3y−4) (3y+4)(3y-4) , quelle expression obtient-on en appliquant la différence de deux carrés ?

3y2−163y^2-16
9y2+169y^2+16
9y2−169y^2-16
9y2−24y+169y^2-24y+16

$$9y^2-16$$

Explication

La formule (a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 donne ici (3y)2−42=9y2−16 (3y)^2-4^2=9y^2-16 . Le terme en yy provient de la confusion avec un carré de différence, 3y23y^2 oublie le carré du coefficient, et le signe plus additionne les carrés.

2. Dans la démonstration de (a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 par double distributivité, quelle propriété justifie l’annulation des termes croisés ?

La commutativité donne a2=b2a^2=b^2, donc −ab+ba=0-ab+ba=0.
La commutativité donne ab=baab=ba, donc −ab−ba=0-ab-ba=0.
La commutativité donne ab=baab=ba, donc −ab+ba=0-ab+ba=0.
La distributivité donne ab=baab=ba, donc −ab+ba=0-ab+ba=0.

La commutativité donne $$ab=ba$$, donc $$-ab+ba=0$$.

Explication

La commutativité de la multiplication permet d’écrire ab=baab=ba, si bien que −ab-ab et +ba+ba sont opposés et s’annulent. La distributivité ne justifie pas l’égalité des produits, a2=b2a^2=b^2 n’est pas impliqué, et deux termes négatifs ne s’annulent pas.

3. Pour développer (5t+2)(5t−2) (5t+2)(5t-2) , quelle démarche applique correctement l’identité remarquable ?

Prendre a=5ta=5t et b=2b=2, puis calculer a2−b2a^2-b^2.
Prendre a=5ta=5t et b=2b=2, puis calculer a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2.
Prendre a=5ta=5t et b=2b=2, puis écrire (a+b)(a−b) (a+b)(a-b) .
Prendre a=5a=5 et b=2tb=2t, puis calculer a2−b2a^2-b^2.

Prendre $$a=5t$$ et $$b=2$$, puis calculer $$a^2-b^2$$.

Explication

On repère une somme multipliée par une différence, on identifie les termes correspondants a=5ta=5t et b=2b=2, puis on applique a2−b2a^2-b^2. Le carré d’une somme ajoute un terme croisé, l’identification alternative ne correspond pas aux facteurs, et réécrire le produit ne le développe pas.

4. Une élève développe (4x+7)(4x−7) (4x+7)(4x-7) et écrit 2x2−492x^2-49. Quelle correction faut-il apporter ?

Remplacer 2x22x^2 par 16x216x^2.
Remplacer 2x2−492x^2-49 par 16x2−14x16x^2-14x.
Remplacer 2x22x^2 par 8x28x^2.
Remplacer 2x2−492x^2-49 par 16x2+4916x^2+49.

Remplacer $$2x^2$$ par $$16x^2$$.

Explication

Le premier terme doit être mis entièrement au carré : (4x)2=16x2 (4x)^2=16x^2 , tandis que 72=497^2=49, d’où 16x2−4916x^2-49. Le signe plus confond somme et différence de carrés, −14x-14x reprend à tort un terme croisé, et 8x28x^2 ne correspond pas au carré de 4x4x.

5. Que signifie factoriser une différence de deux carrés à l’aide de l’identité remarquable ?

La transformer en une somme des carrés des racines des deux termes.
La développer en supprimant les termes croisés d’un produit de deux sommes.
L’écrire comme le carré de la différence entre les racines carrées des deux termes.
L’écrire comme le produit d’une somme et d’une différence des racines carrées des deux termes.

L’écrire comme le produit d’une somme et d’une différence des racines carrées des deux termes.

Explication

Factoriser une différence de carrés consiste à écrire a2−b2a^2-b^2 sous la forme (a+b)(a−b) (a+b)(a-b) . Le carré d’une différence correspond plutôt à l’expression (a−b)2 (a-b)^2 et contient un terme croisé.

6. Pourquoi l’expression x2+9x^2+9 ne peut-elle pas être factorisée avec l’identité de la différence de deux carrés ?

Parce que le terme en xx est absent de l’expression.
Parce que le terme constant doit être un carré négatif.
Parce que les deux carrés sont additionnés au lieu d’être soustraits.
Parce que les deux termes doivent contenir la variable xx.

Parce que les deux carrés sont additionnés au lieu d’être soustraits.

Explication

Cette identité s’applique à une différence de carrés, tandis que x2+9x^2+9 est une somme de carrés. Le fait que le terme en xx soit absent ne constitue pas l’obstacle : c’est le signe entre les carrés qui importe.

7. À quoi sert la troisième identité remarquable (a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 dans le travail algébrique ?

À développer le carré d’une différence en faisant disparaître le terme en abab
À transformer une somme de carrés en produit de deux binômes conjugués
À convertir un produit de deux sommes en somme de carrés sans terme croisé
À transformer un produit en différence de carrés ou à factoriser une telle différence

À transformer un produit en différence de carrés ou à factoriser une telle différence

Explication

Cette identité permet aussi bien de développer le produit de deux binômes conjugués que de factoriser une différence de carrés. Le carré d’une différence conserve un terme en abab, égal à −2ab-2ab, et ne correspond donc pas à cette identité.

8. En quoi le développement de (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) diffère-t-il de celui de (a−b)2(a-b)^2 concernant le terme en abab ?

Les deux développements contiennent un terme en abab, mais avec des signes opposés.
Le premier ne conserve pas de terme en abab, tandis que le second contient −2ab-2ab.
Les deux développements éliminent les termes en abab par annulation.
Le premier contient −2ab-2ab, tandis que le second ne conserve pas de terme en abab.

Le premier ne conserve pas de terme en $$ab$$, tandis que le second contient $$-2ab$$.

Explication

Dans (a+b)(a−b)(a+b)(a-b), les termes croisés −ab-ab et +ba+ba s’annulent, alors que le carré d’une différence donne a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2. Le produit d’une somme par une différence ne contient donc pas le terme −2ab-2ab qui apparaît dans le carré d’une différence.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 8 flashcards sur Troisième identité remarquable.

Quelle formule exprime la différence de deux carrés ?

(a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2

Quelle identité développe une somme multipliée par une différence ?

a2−b2a^2-b^2

Pourquoi les termes −ab-ab et +ba+ba s’annulent-ils dans la démonstration ?

Parce que ab=baab=ba.

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