Fiche de révision : Vecteurs dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Repérage dans le plan
2. Caractéristiques des vecteurs
3. Coordonnées des vecteurs
4. Opérations sur les vecteurs
5. Égalité et géométrie vectorielles

📖 1. Repérage dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Un repère du plan est constitué de deux droites graduées sécantes dont le point d’intersection est l’origine du repère.
• Abscisse : L’abscisse d’un point d’une droite graduée est le nombre qui lui est associé.
• Nombres réels : L’ensemble des abscisses de tous les points de la droite numérique est l’ensemble des nombres réels, noté ℝ.

📖 2. Caractéristiques des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme.
• Vecteurs opposés : Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés.
• Représentant d’un vecteur : Lorsqu’une figure est translatée selon le vecteur $\overrightarrow{AB}$, les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ égaux à $\overrightarrow{AB}$ sont des représentants de ce vecteur.

📝 Points essentiels

• L’opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$ se note $-\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{BA}$.

📖 3. Coordonnées des vecteurs

★ À maîtriser

• Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, alors les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $\begin{pmatrix}x_B-x_A\y_B-y_A\end{pmatrix}$.

Compléments

• Pour $A=(-2;1)$ et $B=(4;3)$, les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(6;2)$.

• Si $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(2;1)$ et $\vec{v}$ pour coordonnées $(1;-1)$, leur somme a pour coordonnées $(3;0)$.

📖 4. Opérations sur les vecteurs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour trois points $A$, $B$ et $C$, la relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

• La somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ est égale à $\overrightarrow{AD}$ lorsque les vecteurs sont disposés selon la règle du parallélogramme.

📖 5. Égalité et géométrie vectorielles

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs qui ont les mêmes coordonnées sont égaux.

📌 Pour quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$, l’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut au fait que $ABDC$ est un parallélogramme.

Compléments

📌 Si $B$ est le milieu du segment $[AC]$, alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

💡 Astuce mémo

Vecteurs égaux : même direction, même sens et même norme ; vecteurs opposés : même direction et norme, sens contraire.