Fiche de révision : Mathématiques : volumes et calcul littéral

📋 Plan du Cours

1. Volumes des solides et approximations
2. Racines carrées et calculs
3. Carrés parfaits et encadrements
4. Distributivité et développement
5. Réduction des expressions algébriques
6. Définition et résolution des équations
7. Développement et réduction
8. Égalité remarquable des carrés
9. Factorisation d’expressions algébriques
10. Calculatrice et tableur

📖 1. Volumes des solides et approximations

★ À maîtriser

📐 Formule - Le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h est $V=\pi r^2h$.

📐 Formule - Le volume d’une boule de rayon r est $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

📌 Une valeur exacte conserve l’expression en fonction de π, tandis qu’une valeur approchée remplace π par une approximation ou donne un arrondi.

Compléments

• Pour un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm, le volume exact est 20π cm³ et son arrondi au millième est 62,832 cm³.

• Un centimètre cube vaut 0,001 décimètre cube.

• Un mètre cube vaut 1 000 décimètres cubes.

💡 Astuce mémo

20π cm³ est exact ; 62,832 cm³ est approché

📖 2. Racines carrées et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : L’unique nombre positif dont le carré vaut a, pour un nombre positif a, et elle se note √a.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a positif, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$.

Compléments

📌 Lorsque le nombre sous le radical n’est pas le carré d’un nombre décimal ou rationnel, la racine carrée garde une valeur exacte sous la forme radicale et peut aussi être donnée par une valeur arrondie.

• Les calculs placés sous un radical sont effectués avant l’extraction de la racine carrée.

💡 Astuce mémo

Le carré remonte de a vers a² ; la racine carrée revient de a² vers a

📖 3. Carrés parfaits et encadrements

★ À maîtriser

• Les carrés parfaits de 1² à 12² sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 et 144.

📌 Les racines carrées sont rangées dans le même ordre que les nombres placés sous leur radical.

• Pour encadrer une racine carrée entre deux entiers consécutifs, on encadre son radicande par deux carrés parfaits consécutifs, puis on prend les racines carrées des bornes.

Compléments

📐 Formule - La puissance électrique, la résistance et l’intensité sont reliées par $P=RI^2$, où P est en watts, R en ohms et I en ampères.

💡 Astuce mémo

Carrés parfaits croissants : 1, 4, 9, 16, 25…

📖 4. Distributivité et développement

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité sur une somme s’écrit $k(a+b)=ka+kb$.

📐 Formule - La distributivité sur une différence s’écrit $k(a-b)=ka-kb$.

📌 Une expression comme k(a+b) est une forme factorisée, tandis que ka+kb est une forme développée.

Compléments

📌 Le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

• Pour obtenir une forme développée et réduite, on développe d’abord le produit puis on effectue les calculs numériques et les regroupements possibles.

💡 Astuce mémo

Produit factorisé → somme développée

📖 5. Réduction des expressions algébriques

★ À maîtriser

• 🔄 Pour réduire une expression à une variable :
  1. Rassembler les termes de même puissance.
  2. Factoriser les coefficients communs.
  3. Réduire l’expression.

📌 Dans une somme ou une différence, supprimer des parenthèses précédées d’un signe plus conserve le signe de chaque terme.

📌 Dans une somme ou une différence, supprimer des parenthèses précédées d’un signe moins change le signe de chaque terme.

Compléments

📌 Les règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe plus ou moins ne s’appliquent pas directement lorsque les parenthèses sont facteurs dans un produit.

📖 6. Définition et résolution des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Égalité comportant un nombre inconnu représenté par une lettre
• Solution d’une équation : Valeurs de l’inconnue qui rendent vraie l’égalité
• Équation du premier degré : Une égalité de la forme $ax+b=c$, où a, b et c sont connus et x est l’inconnue, est une équation du premier degré à une inconnue.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation du premier degré de la forme $ax+b=c$, on isole x en effectuant les opérations inverses et en réduisant les sommes.

• L’équation $x+9=5$ a pour solution $x=5-9=-4$.

📖 7. Développement et réduction

★ À maîtriser

• Le développement de $(a+b)(c+d)$ est $ac+ad+bc+bd$.

📌 La forme factorisée est un produit de facteurs, tandis que la forme développée et réduite est une somme de termes regroupés par puissances.

Compléments

• Pour développer et réduire, on distribue chaque terme du premier facteur à chaque terme du second, puis on regroupe les termes de même puissance et on ordonne le résultat par puissances décroissantes.

• Le programme de calcul 1, appliqué à x, s’écrit $(2x-1)(x-1)$, tandis que le programme 2 s’écrit $2x^2-3x+1$.

📖 8. Égalité remarquable des carrés

★ À maîtriser

📐 Formule - L’égalité remarquable est $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Pour développer un produit de la forme $(a+b)(a-b)$, on identifie a et b puis on applique $a^2-b^2$.

• Le produit $(x+7)(x-7)$ se développe en $x^2-49$.

💡 Astuce mémo

La somme des carrés moins celle des carrés : (a+b)(a-b)=a²-b².

📖 9. Factorisation d’expressions algébriques

★ À maîtriser

📌 La factorisation transforme une somme ou une différence en produit, alors que le développement transforme un produit en somme.

📐 Formule - La différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

📐 Formule - Un facteur commun se met en évidence selon $ka+kb=k(a+b)$ et $ka-kb=k(a-b)$.

Compléments

• L’expression $10x-15$ se factorise en $5(2x-3)$ en mettant 5 en facteur commun.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 10. Calculatrice et tableur

★ À maîtriser

• La touche de calculatrice indiquée permet de basculer l’affichage d’un résultat entre sa valeur exacte et sa valeur décimale.

Compléments

• Pour encadrer une solution d’équation avec une calculatrice, on teste des valeurs de x dans un intervalle choisi avec un pas donné, puis on repère les valeurs encadrant la solution.

• Dans un tableur, RACINE(A1) calcule la racine carrée, ENT(A1) la partie entière, A1^2 le carré, SOMME(A1:A5) la somme des cellules A1 à A5 et A1*A2 leur produit.

• Un tableur permet d’automatiser des calculs, d’effectuer des recherches et de valider des hypothèses.