QCM : Vecteurs dans le plan et l’espace (15 questions)

Question 1

1. Pour un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes $(3;4)$ , quel couple donne ses coordonnées polaires, avec l’angle exprimé dans $[0;2\pi[$ ?

(5;\arctan(4/3))

(5;\arctan(4/3)+\pi)

(\arctan(4/3);5)

(7;\arctan(4/3))

Explication

Le rayon est la norme, donc $r=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , et l’angle associé est $\arctan(4/3)$ puisque les deux coordonnées sont positives. Le rayon $7$ vient de la somme des coordonnées, l’ajout de $\pi$ correspondrait à une autre direction, et le couple inversé place l’angle en première coordonnée.

Answer

$$(5;\arctan(4/3))$$

Question 2

2. Un vecteur a pour coordonnées polaires $r=4$ et $\theta=\pi/3$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

(2\sqrt{3};2)

(2;2\sqrt{3})

(-2;-2\sqrt{3})

(1/2;\sqrt{3}/2)

Explication

On applique $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ : $x=4\cos(\pi/3)=2$ et $y=4\sin(\pi/3)=2\sqrt{3}$ . L’échange des fonctions inverse les coordonnées, l’absence du facteur $4$ donne les valeurs trigonométriques seules, et les deux signes négatifs correspondent à une direction opposée.

Answer

$$(2;2\sqrt{3})$$

Question 3

3. Pour additionner deux sinusoïdes de même pulsation, quelle démarche permet d’obtenir l’amplitude et la phase de leur somme par la méthode de Fresnel ?

Additionner séparément les amplitudes et les phases, puis représenter le résultat en polaires

Représenter amplitude et phase par des vecteurs, les additionner en cartésiennes, puis repasser en polaires

Soustraire les amplitudes et additionner les phases, puis convertir en cartésiennes

Additionner les vecteurs en polaires, puis convertir le résultat en cartésiennes

Explication

La méthode de Fresnel représente chaque amplitude et phase par un vecteur, effectue l’addition en coordonnées cartésiennes, puis convertit le vecteur résultant en coordonnées polaires. L’addition directe des amplitudes et des phases confond des composantes vectorielles avec des scalaires, tandis que les autres démarches inversent l’ordre nécessaire ou appliquent une soustraction non justifiée.

Answer

Représenter amplitude et phase par des vecteurs, les additionner en cartésiennes, puis repasser en polaires

Question 4

4. La somme $\cos t+\cos(t-\pi/2)$ est réécrite sous la forme d’une seule sinusoïde. Quelle expression illustre l’identité de Fresnel correspondante ?

2\cos(t-\pi/4)

\cos(t-\pi/2)

\sqrt{2}\cos(t-\pi/4)

\sqrt{2}\cos(t+\pi/4)

Explication

La représentation vectorielle des deux sinusoïdes donne une amplitude résultante $\sqrt{2}$ et une phase $-\pi/4$ , d’où $\sqrt{2}\cos(t-\pi/4)$ . L’amplitude $2$ additionne les amplitudes sans tenir compte de leur déphasage, le signe positif inverse la phase résultante, et la dernière expression omet la contribution du premier terme.

Answer

$$\sqrt{2}\cos(t-\pi/4)$$

Question 5

5. Dans un repère orthonormé de l’espace, comment s’écrit de façon unique un vecteur de coordonnées $(a;b;c)$ à l’aide des vecteurs de base ?

a\vec i+b\vec j

a\vec j+b\vec k+c\vec i

a\vec i+b\vec j+c\vec k

a\vec i+b\vec k+c\vec j

Explication

Dans un repère orthonormé de l’espace, un vecteur de coordonnées $(a;b;c)$ s’écrit de façon unique $a\vec i+b\vec j+c\vec k$ . L’ordre permuté associe mal les composantes aux axes, l’écriture à deux termes omet la troisième composante, et l’autre permutation échange les axes $y$ et $z$ .

Answer

$$a\vec i+b\vec j+c\vec k$$

Question 6

6. Dans un repère orthonormé, un vecteur a pour coordonnées $(2;-3;6)$ . Quelle est sa norme ?

\sqrt{13}

\sqrt{41}

7

5

Explication

La norme vaut $\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ . $\sqrt{13}$ omet la composante de valeur 6, 5 résulte de l’addition directe des coordonnées en valeur absolue, et $\sqrt{41}$ ne traite pas correctement la composante négative.

Answer

$$(-5;5;4)$$

Answer

$$\rho=OH$$ et $$\theta$$ est l’angle de $$(\vec i,\overrightarrow{OH})$$

Answer

$$(2;2\sqrt{3};-2)$$

Answer

Ils sont colinéaires.

Answer

Il est orthogonal aux deux vecteurs et orienté pour former un trièdre direct avec eux.

Answer

$$\vec a\cdot(\vec b\wedge\vec c)$$

Question 7

7. Les points $A(4;-2;1)$ et $B(-1;3;5)$ sont donnés dans un repère de l’espace. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

(-5;-5;4)

(-5;5;4)

(5;-5;4)

(5;5;-4)

Explication

On calcule les coordonnées de $B-A$ : $(-1-4;3-(-2);5-1)=(-5;5;4)$ . Inverser les points donne $(5;-5;-4)$ , tandis que les autres résultats traduisent des inversions de soustraction sur certains axes.

Question 8

8. Un point $M$ de l’espace est projeté orthogonalement en $H$ sur le plan $xOy$ . Que représentent $\rho$ et $\theta$ dans ses coordonnées cylindriques $(\rho;\theta;z)$ ?

\rho=|z|

et

\theta

est l’angle de

(\vec i,\overrightarrow{OH})

\rho=OM

et

\theta

est l’angle de

(\vec i,\overrightarrow{OM})

\rho=OH

et

\theta

est l’angle de

(\vec j,\overrightarrow{OH})

\rho=OH

et

\theta

est l’angle de

(\vec i,\overrightarrow{OH})

Explication

Le rayon cylindrique $\rho$ est la distance $OH$ , dans le plan $xOy$ , et $\theta$ est l’angle orienté de $\vec i$ à $\overrightarrow{OH}$ . $OM$ inclut la hauteur, l’angle mesuré depuis $\vec j$ change la référence, et $|z|$ est la distance verticale plutôt que le rayon.

Question 9

9. Un point a pour coordonnées cylindriques $(4;\frac{\pi}{3};-2)$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

(-2;2\sqrt{3};-2)

(2;2\sqrt{3};4)

(2;2\sqrt{3};-2)

(2\sqrt{3};2;-2)

Explication

On applique $x=\rho\cos\theta$ , $y=\rho\sin\theta$ et on conserve $z$ : $x=4\cdot\frac12=2$ , $y=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3$ , et $z=-2$ . L’autre permutation échange sinus et cosinus, tandis que les deux autres erreurs altèrent la coordonnée verticale ou le signe de $x$ .

Question 10

10. Dans un repère orthonormé du plan, on considère $\vec u=(3;-2)$ et $\vec v=(4;5)$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

10

-2

2

17

Explication

Dans le plan, on multiplie les coordonnées correspondantes puis on additionne : $3\times4+(-2)\times5=12-10=2$ . L’addition directe des coordonnées donne 10, la soustraction des produits donne -2 et 17 provient d’un calcul incorrect.

Question 11

11. Dans un repère orthonormé, deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire de valeur absolue égale au produit de leurs normes. Quelle relation géométrique les unit ?

Ils ont la même norme.

Ils sont colinéaires.

Ils ont le même sens.

Ils sont orthogonaux.

Explication

Question 12

12. Deux vecteurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$ sont choisis dans l’espace. Quelle propriété permet d’identifier $\vec u\wedge\vec v$ ?

Il est contenu dans le plan des deux vecteurs et orienté pour former un trièdre direct avec eux.

Il est orthogonal aux deux vecteurs et orienté pour former un trièdre direct avec eux.

Il est orthogonal aux deux vecteurs et sa norme égale le produit de leurs normes par le cosinus de leur angle.

Il est orthogonal aux deux vecteurs et orienté pour former un trièdre indirect avec eux.

Explication

Le produit vectoriel est orthogonal à chacun des deux vecteurs, son orientation rend le trièdre direct et sa norme dépend de la valeur absolue du sinus de l’angle. L’affirmation « contenu dans le plan » confond le produit vectoriel avec une combinaison dans ce plan, le trièdre indirect inverse l’orientation, et le cosinus intervient dans le produit scalaire.

Question 13

13. Dans un repère orthonormé direct, on prend $\vec u=(1;2;0)$ et $\vec v=(3;1;4)$ . Quelles sont les coordonnées de $\vec u\wedge\vec v$ ?

(-8;4;5)

(8;-4;-5)

(8;4;-5)

(3;2;0)

Explication

La formule donne $(bf-ec;cd-af;ae-db)$ , donc $(2\times4-0\times1;0\times3-1\times4;1\times1-2\times3)=(8;-4;-5)$ . Inverser l’ordre des vecteurs change le signe de toutes les composantes, tandis que modifier une seule différence ou appliquer la formule du produit scalaire ne donne pas le produit vectoriel.

Question 14

14. Dans un repère orthonormé direct, quelle expression définit le produit mixte de trois vecteurs $\vec a$ , $\vec b$ et $\vec c$ ?

\vec a\cdot(\vec b\wedge\vec c)

(\vec a\wedge\vec b)\wedge\vec c

\vec a\wedge(\vec b\cdot\vec c)

\vec a\cdot(\vec b\cdot\vec c)

Explication

Le produit mixte est le produit scalaire de $\vec a$ par le produit vectoriel $\vec b\wedge\vec c$ , ce qui donne un scalaire. L’expression avec un produit vectoriel imbriqué confond le résultat scalaire avec un vecteur, tandis que les autres remplacent ou combinent incorrectement les opérations.

Question 15

15. Trois vecteurs engendrent un parallélépipède et leur produit mixte vaut $-12$ . Quel est le volume de ce parallélépipède ?

\sqrt{12}

-12

144

12

Explication

Le volume est la valeur absolue du produit mixte : $V=|-12|=12$ . La réponse $-12$ conserve à tort le signe, $144$ correspond au carré, et $\sqrt{12}$ applique une racine qui n’intervient pas dans la formule.

QCM : Vecteurs dans le plan et l’espace (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes $(3;4)$ , quel couple donne ses coordonnées polaires, avec l’angle exprimé dans $[0;2\pi[$ ?

2. Un vecteur a pour coordonnées polaires $r=4$ et $\theta=\pi/3$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

3. Pour additionner deux sinusoïdes de même pulsation, quelle démarche permet d’obtenir l’amplitude et la phase de leur somme par la méthode de Fresnel ?

4. La somme $\cos t+\cos(t-\pi/2)$ est réécrite sous la forme d’une seule sinusoïde. Quelle expression illustre l’identité de Fresnel correspondante ?

5. Dans un repère orthonormé de l’espace, comment s’écrit de façon unique un vecteur de coordonnées $(a;b;c)$ à l’aide des vecteurs de base ?

6. Dans un repère orthonormé, un vecteur a pour coordonnées $(2;-3;6)$ . Quelle est sa norme ?

7. Les points $A(4;-2;1)$ et $B(-1;3;5)$ sont donnés dans un repère de l’espace. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

8. Un point $M$ de l’espace est projeté orthogonalement en $H$ sur le plan $xOy$ . Que représentent $\rho$ et $\theta$ dans ses coordonnées cylindriques $(\rho;\theta;z)$ ?

9. Un point a pour coordonnées cylindriques $(4;\frac{\pi}{3};-2)$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

10. Dans un repère orthonormé du plan, on considère $\vec u=(3;-2)$ et $\vec v=(4;5)$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

11. Dans un repère orthonormé, deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire de valeur absolue égale au produit de leurs normes. Quelle relation géométrique les unit ?

12. Deux vecteurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$ sont choisis dans l’espace. Quelle propriété permet d’identifier $\vec u\wedge\vec v$ ?

13. Dans un repère orthonormé direct, on prend $\vec u=(1;2;0)$ et $\vec v=(3;1;4)$ . Quelles sont les coordonnées de $\vec u\wedge\vec v$ ?

14. Dans un repère orthonormé direct, quelle expression définit le produit mixte de trois vecteurs $\vec a$ , $\vec b$ et $\vec c$ ?

15. Trois vecteurs engendrent un parallélépipède et leur produit mixte vaut $-12$ . Quel est le volume de ce parallélépipède ?

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QCM : Vecteurs dans le plan et l’espace (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (3;4)(3;4)(3;4), quel couple donne ses coordonnées polaires, avec l’angle exprimé dans [0;2π[[0;2\pi[[0;2π[ ?

2. Un vecteur a pour coordonnées polaires r=4r=4r=4 et θ=π/3\theta=\pi/3θ=π/3. Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

3. Pour additionner deux sinusoïdes de même pulsation, quelle démarche permet d’obtenir l’amplitude et la phase de leur somme par la méthode de Fresnel ?

4. La somme cos⁡t+cos⁡(t−π/2)\cos t+\cos(t-\pi/2)cost+cos(t−π/2) est réécrite sous la forme d’une seule sinusoïde. Quelle expression illustre l’identité de Fresnel correspondante ?

5. Dans un repère orthonormé de l’espace, comment s’écrit de façon unique un vecteur de coordonnées (a;b;c)(a;b;c)(a;b;c) à l’aide des vecteurs de base ?

6. Dans un repère orthonormé, un vecteur a pour coordonnées (2;−3;6)(2;-3;6)(2;−3;6). Quelle est sa norme ?

7. Les points A(4;−2;1)A(4;-2;1)A(4;−2;1) et B(−1;3;5)B(-1;3;5)B(−1;3;5) sont donnés dans un repère de l’espace. Quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}AB ?

8. Un point MMM de l’espace est projeté orthogonalement en HHH sur le plan xOyxOyxOy. Que représentent ρ\rhoρ et θ\thetaθ dans ses coordonnées cylindriques (ρ;θ;z)(\rho;\theta;z)(ρ;θ;z) ?

9. Un point a pour coordonnées cylindriques (4;π3;−2)(4;\frac{\pi}{3};-2)(4;3π​;−2). Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

10. Dans un repère orthonormé du plan, on considère u⃗=(3;−2)\vec u=(3;-2)u=(3;−2) et v⃗=(4;5)\vec v=(4;5)v=(4;5). Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

11. Dans un repère orthonormé, deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire de valeur absolue égale au produit de leurs normes. Quelle relation géométrique les unit ?

12. Deux vecteurs non colinéaires u⃗\vec uu et v⃗\vec vv sont choisis dans l’espace. Quelle propriété permet d’identifier u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec vu∧v ?

13. Dans un repère orthonormé direct, on prend u⃗=(1;2;0)\vec u=(1;2;0)u=(1;2;0) et v⃗=(3;1;4)\vec v=(3;1;4)v=(3;1;4). Quelles sont les coordonnées de u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec vu∧v ?

14. Dans un repère orthonormé direct, quelle expression définit le produit mixte de trois vecteurs a⃗\vec aa, b⃗\vec bb et c⃗\vec cc ?

15. Trois vecteurs engendrent un parallélépipède et leur produit mixte vaut −12-12−12. Quel est le volume de ce parallélépipède ?

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1. Pour un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes $(3;4)$ , quel couple donne ses coordonnées polaires, avec l’angle exprimé dans $[0;2\pi[$ ?

2. Un vecteur a pour coordonnées polaires $r=4$ et $\theta=\pi/3$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

4. La somme $\cos t+\cos(t-\pi/2)$ est réécrite sous la forme d’une seule sinusoïde. Quelle expression illustre l’identité de Fresnel correspondante ?

5. Dans un repère orthonormé de l’espace, comment s’écrit de façon unique un vecteur de coordonnées $(a;b;c)$ à l’aide des vecteurs de base ?

6. Dans un repère orthonormé, un vecteur a pour coordonnées $(2;-3;6)$ . Quelle est sa norme ?

7. Les points $A(4;-2;1)$ et $B(-1;3;5)$ sont donnés dans un repère de l’espace. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

8. Un point $M$ de l’espace est projeté orthogonalement en $H$ sur le plan $xOy$ . Que représentent $\rho$ et $\theta$ dans ses coordonnées cylindriques $(\rho;\theta;z)$ ?

9. Un point a pour coordonnées cylindriques $(4;\frac{\pi}{3};-2)$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

10. Dans un repère orthonormé du plan, on considère $\vec u=(3;-2)$ et $\vec v=(4;5)$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

12. Deux vecteurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$ sont choisis dans l’espace. Quelle propriété permet d’identifier $\vec u\wedge\vec v$ ?

13. Dans un repère orthonormé direct, on prend $\vec u=(1;2;0)$ et $\vec v=(3;1;4)$ . Quelles sont les coordonnées de $\vec u\wedge\vec v$ ?

14. Dans un repère orthonormé direct, quelle expression définit le produit mixte de trois vecteurs $\vec a$ , $\vec b$ et $\vec c$ ?

15. Trois vecteurs engendrent un parallélépipède et leur produit mixte vaut $-12$ . Quel est le volume de ce parallélépipède ?