Flashcards : Vecteurs dans le plan et l’espace (40 cartes)

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1Question

Quelles sont les coordonnées polaires d’un vecteur non nul du plan ?

Réponse

$r=\sqrt{x^2+y^2}$ et un angle $\theta$ de $(\vec i,\vec u)$ .

2Question

Comment obtenir l’abscisse $x$ à partir des coordonnées polaires ?

Réponse

$x=r\cos\theta$ .

3Question

Comment obtenir l’ordonnée $y$ à partir des coordonnées polaires ?

Réponse

$y=r\sin\theta$ .

4Question

Comment additionner deux sinusoïdes de même pulsation par la méthode de Fresnel ?

Réponse

On additionne leurs vecteurs en coordonnées cartésiennes, puis on convertit le résultat en coordonnées polaires.

5Question

Comment s’écrit un vecteur de l’espace dans un repère orthonormé ?

Réponse

$\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$

6Question

Quelles sont les coordonnées de $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ ?

Réponse

$(x;y;z)$

7Question

Quelle formule donne la norme de $\vec u=(x;y;z)$ dans l’espace ?

Réponse

$\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

8Question

Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ pour deux points de l’espace ?

Réponse

$(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

9Question

Quelles sont les coordonnées cylindriques du vecteur non nul $\overrightarrow{OM}$ ?

Réponse

$(\rho;\theta;z)$

10Question

Que représente $\rho$ en coordonnées cylindriques de $M$ ?

Réponse

La distance entre l’origine et la projection orthogonale de $M$ sur le plan $xOy$ .

11Question

Comment définit-on l’angle $\theta$ des coordonnées cylindriques de $M$ ?

Réponse

L’angle de $(\vec i,\overrightarrow{OH})$ .

12Question

Quelle relation relie la coordonnée verticale cylindrique à la coordonnée cartésienne ?

Réponse

$z=z$

13Question

Comment définit-on le produit scalaire de deux vecteurs non nuls avec leur angle ?

Réponse

$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$

14Question

Que vaut le produit scalaire si l’un des deux vecteurs est nul ?

Réponse

Zéro.

15Question

Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs du plan par leurs coordonnées ?

Réponse

$\vec u\cdot\vec v=ac+bd$

16Question

Quelle condition caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs par leur produit scalaire ?

Réponse

Leur produit scalaire est nul.

17Question

Quelle est la direction du produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires ?

Réponse

Il est orthogonal aux deux vecteurs.

18Question

Quelle est la norme de $\vec u\wedge\vec v$ ?

Réponse

$\|\vec u\|\|\vec v\||\sin(\vec u,\vec v)|$

19Question

Comment calculer $\vec u\wedge\vec v$ pour $\vec u=(a;b;c)$ et $\vec v=(d;e;f)$ ?

Réponse

$(bf-ec;cd-af;ae-db)$

20Question

Qu’est-ce que le produit mixte de trois vecteurs dans un repère orthonormé direct ?

Réponse

Le scalaire $\vec v_1\cdot(\vec v_2\wedge\vec v_3)$ .

21Question

Comment calculer le volume du parallélépipède engendré par trois vecteurs ?

Réponse

$V=|(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)|$ .

22Question

À quoi est égal $\cos\theta$ pour un vecteur non nul ?

Réponse

$\frac{x}{r}$ .

23Question

À quoi est égal $\sin\theta$ pour un vecteur non nul ?

Réponse

$\frac{y}{r}$ .

24Question

Comment calculer l’angle polaire si $x>0$ ?

Réponse

$\theta=\arctan(y/x)$ .

25Question

Comment calculer l’angle polaire si $x<0$ ?

Réponse

$\theta=\arctan(y/x)+\pi$ .

26Question

Quelle identité illustre l’addition vectorielle de sinusoïdes selon Fresnel ?

Réponse

$\cos t+\cos(t-\pi/2)=\sqrt{2}\cos(t-\pi/4).$

27Question

Quelle formule donne la longueur du segment $[AB]$ dans l’espace ?

Réponse

$\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

28Question

Quelles notions gardent leurs définitions et propriétés du plan à l’espace ?

Réponse

La relation de Chasles, la somme de vecteurs, la multiplication par un réel et la colinéarité.

29Question

Que représentent les coordonnées $(\rho;\theta)$ de la projection $H$ de $M$ ?

Réponse

Les coordonnées polaires de $H$ .

30Question

Quelle propriété exprime la commutativité du produit scalaire ?

Réponse

$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$

31Question

Quelle formule donne le carré de la norme de la somme de deux vecteurs ?

Réponse

$\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\vec u\cdot\vec v$

32Question

Comment calculer le travail d’une force constante lors du déplacement de A à B ?

Réponse

$W=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}$

33Question

Quand un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ est-il direct ?

Réponse

Depuis $[Oz)$ , en regardant $[Ox)$ , $[Oy)$ se trouve à gauche.

34Question

Quelle relation exprime l’antisymétrie du produit vectoriel ?

Réponse

$\vec u\wedge\vec v=-\vec v\wedge\vec u$

35Question

Quelle formule relie l’angle entre deux vecteurs non nuls à leur produit vectoriel ?

Réponse

$\sin\alpha=\frac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$

36Question

Quelle formule donne l’aire du triangle ABC à partir de ses vecteurs ?

Réponse

$A=\frac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$

37Question

Quelle formule donne le moment en O d’une force appliquée en M ?

Réponse

$\vec M_O(\vec F)=\overrightarrow{OM}\wedge\vec F$

38Question

À quel produit scalaire le produit mixte $(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)$ est-il égal ?

Réponse

À $(\vec v_1\wedge\vec v_2)\cdot\vec v_3$ .

39Question

Que devient le produit mixte lors de l’échange de deux vecteurs ?

Réponse

Son signe change.

40Question

Que devient le produit mixte lors d’une permutation circulaire ?

Réponse

Il reste inchangé.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 15 questions sur Vecteurs dans le plan et l’espace.

1. Pour un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes $(3;4)$ , quel couple donne ses coordonnées polaires, avec l’angle exprimé dans $[0;2\pi[$ ?

2. Un vecteur a pour coordonnées polaires $r=4$ et $\theta=\pi/3$ . Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

Faire le QCM →

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