Fiche de révision : Vecteurs dans le plan et l’espace

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées polaires des vecteurs
2. Addition des sinusoïdes par Fresnel
3. Vecteurs et coordonnées dans l’espace
4. Coordonnées cylindriques dans l’espace
5. Produit scalaire et applications
6. Produit vectoriel et applications
7. Produit mixte et volume

📖 1. Coordonnées polaires des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Pour un vecteur non nul $\vec u=(x;y)$ du plan, ses coordonnées polaires sont $r=\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$ et un angle $\theta$ de $(\vec i,\vec u)$, généralement choisi dans $[0;2\pi[$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les coordonnées cartésiennes et polaires sont liées par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

Compléments

📐 Formule - Pour un vecteur non nul du plan, $\cos\theta=\frac{x}{r}$ et $\sin\theta=\frac{y}{r}$.

• Si $x\ne0$, on peut déterminer l’angle polaire par $\theta=\arctan(y/x)$ lorsque $x>0$, et par $\theta=\arctan(y/x)+\pi$ lorsque $x<0$.

📖 2. Addition des sinusoïdes par Fresnel

★ À maîtriser

• Pour additionner deux sinusoïdes de même pulsation, on représente leurs amplitudes et phases par des vecteurs polaires, on convertit ces vecteurs en coordonnées cartésiennes pour les additionner, puis on reconvertit le résultat en coordonnées polaires.

Compléments

• L’identité de Fresnel $\cos t+\cos(t-\pi/2)=\sqrt2\cos(t-\pi/4)$ illustre l’addition de deux sinusoïdes par représentation vectorielle.

💡 Astuce mémo

Polaires → cartésiennes pour additionner → polaires pour retrouver amplitude et phase.

📖 3. Vecteurs et coordonnées dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur de l’espace : Dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, tout vecteur de l’espace s’écrit de façon unique $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ et a pour coordonnées $(x;y;z)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère orthonormé de l’espace, la norme d’un vecteur $\vec u=(x;y;z)$ est $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

📐 Formule - Pour deux points $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$, $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

Compléments

📐 Formule - La longueur du segment $[AB]$ est $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

• Dans l’espace, la relation de Chasles, la somme de vecteurs, la multiplication par un réel et la colinéarité gardent les mêmes définitions et propriétés que dans le plan.

📖 4. Coordonnées cylindriques dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cylindriques : Pour un vecteur non nul $\overrightarrow{OM}=(x;y;z)$, ses coordonnées cylindriques sont $(\rho;\theta;z)$, où $\rho$ est la distance de la projection orthogonale de $M$ sur le plan $xOy$ à l’origine et $\theta$ est l’angle de $(\vec i,\overrightarrow{OH})$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les coordonnées cylindriques et cartésiennes vérifient $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$ et $z=z$.

Compléments

• Les coordonnées $(\rho;\theta)$ sont les coordonnées polaires de la projection $H$ de $M$ sur le plan $xOy$.

📖 5. Produit scalaire et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ est le nombre $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$, et il vaut zéro si l’un des vecteurs est nul.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $\vec u=(a;b)$ et $\vec v=(c;d)$ dans le plan, $\vec u\cdot\vec v=ac+bd$; dans l’espace, pour $\vec u=(a;b;c)$ et $\vec v=(d;e;f)$, $\vec u\cdot\vec v=ad+be+cf$.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, tandis qu’ils sont colinéaires si et seulement si la valeur absolue de leur produit scalaire égale le produit de leurs normes.

Compléments

• Le produit scalaire est commutatif, distributif par rapport à l’addition et homogène par rapport à la multiplication par un réel : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$, $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ et $\vec u\cdot(k\vec v)=k(\vec u\cdot\vec v)$.

📐 Formule - Pour deux vecteurs non nuls faisant un angle $\alpha$, $\cos\alpha=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$.

📐 Formule - La norme de la somme vérifie $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\vec u\cdot\vec v$; si les vecteurs sont orthogonaux, le terme croisé est nul et on retrouve le théorème de Pythagore.

📐 Formule - Le travail d’une force constante $\vec F$ lors du déplacement rectiligne de $A$ à $B$ est $W=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}$.

📖 6. Produit vectoriel et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Pour deux vecteurs non colinéaires de l’espace, leur produit vectoriel $\vec u\wedge\vec v$ est orthogonal aux deux vecteurs, orienté de sorte que $(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)$ soit direct, et de norme $\|\vec u\|\|\vec v\||\sin(\vec u,\vec v)|$; il est nul si les vecteurs sont colinéaires.
• Repère direct : Un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ est direct si, pour un observateur placé sur $[Oz)$, les pieds en $O$ et regardant $[Ox)$, la demi-droite $[Oy)$ se trouve à sa gauche.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère orthonormé direct, si $\vec u=(a;b;c)$ et $\vec v=(d;e;f)$, alors $\vec u\wedge\vec v=(bf-ec;cd-af;ae-db)$.

Compléments

• Le produit vectoriel est antisymétrique, distributif par rapport à l’addition et homogène par rapport à la multiplication par un réel : $\vec u\wedge\vec v=-\vec v\wedge\vec u$, $\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w$ et $\vec u\wedge(k\vec v)=k(\vec u\wedge\vec v)$.

📐 Formule - Pour deux vecteurs non nuls faisant un angle $\alpha$, $\sin\alpha=\frac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$.

📐 Formule - L’aire du triangle $ABC$ est $A=\frac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$.

📐 Formule - Le moment en $O$ d’une force $\vec F$ appliquée au point $M$ est $\vec M_O(\vec F)=\overrightarrow{OM}\wedge\vec F$.

📖 7. Produit mixte et volume

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit mixte : Dans un repère orthonormé direct, le produit mixte de trois vecteurs est le scalaire $(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)=\vec v_1\cdot(\vec v_2\wedge\vec v_3)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le volume du parallélépipède engendré par $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ est $V=|(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)|$.

Compléments

• Le produit mixte vérifie $(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)=\vec v_1\cdot(\vec v_2\wedge\vec v_3)=(\vec v_1\wedge\vec v_2)\cdot\vec v_3$.

• Le produit mixte change de signe lors de l’échange de deux vecteurs et reste inchangé lors d’une permutation circulaire.

📌 Un repère orthonormé $(O,\vec x_0,\vec y_0,\vec z_0)$ est direct si $(\vec x_0,\vec y_0,\vec z_0)>0$.