QCM : Vecteurs de l’espace (10 questions)

Question 1

1. Deux vecteurs non nuls ont la même longueur et la même direction, mais leurs sens sont opposés. Quelle conclusion s’impose ?

Ils sont égaux si leurs représentants ont la même origine

Ils sont égaux, car leur longueur est identique

Ils ne sont pas égaux, car leur sens diffère

Ils sont égaux, car leur direction est identique

Explication

L’égalité de deux vecteurs exige la même direction, le même sens et la même longueur. Avoir la même longueur ou la même direction ne suffit pas, et des sens opposés caractérisent des vecteurs opposés plutôt qu’égaux.

Answer

Ils ne sont pas égaux, car leur sens diffère

Question 2

2. Dans l’espace, les points P et Q sont confondus. Quel vecteur est associé au couple de points (P, Q) ?

Un vecteur de même direction mais de sens opposé à PQ

Le vecteur de la translation qui transforme Q en P

Le vecteur nul

Un vecteur de direction quelconque et de longueur non nulle

Explication

Lorsque les deux points du couple sont confondus, le vecteur associé est le vecteur nul. Un vecteur non nul ou de sens inversé correspondrait à des points distincts.

Answer

Le vecteur nul

Question 3

3. On construit le point D de sorte qu'ABDC soit un parallélogramme. Quel vecteur est égal à la somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ?

Le vecteur de A vers D

Le vecteur de A vers B

Le vecteur de B vers D

Le vecteur de D vers A

Explication

La règle du parallélogramme indique que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ lorsqu'ABDC est le parallélogramme construit à partir de ces deux vecteurs. Le vecteur de B vers D est un côté, et non le vecteur somme.

Answer

Le vecteur de A vers D

Question 4

4. Pour trois points X, Y et Z, une personne se déplace de X à Y, puis de Y à Z. Quel vecteur représente le déplacement total ?

Le vecteur de Z vers X

Le vecteur de X vers Y

Le vecteur de X vers Z

Le vecteur de Y vers Z

Explication

La relation de Chasles donne $\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}$ : les deux déplacements successifs équivalent au déplacement direct de X à Z. Le vecteur de Z vers X inverse le sens du déplacement total.

Answer

Le vecteur de X vers Z

Question 5

5. Que signifie la colinéarité de deux vecteurs non nuls ?

Les deux vecteurs ont des directions perpendiculaires.

La somme des deux vecteurs est le vecteur nul.

L’un des vecteurs est un multiple réel non nul de l’autre.

Les deux vecteurs ont la même norme et le même sens.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’il existe un réel non nul qui permet d’obtenir l’un en multipliant l’autre par ce réel. Avoir la même norme et le même sens n’est pas nécessaire, car le coefficient peut être négatif ou avoir une valeur différente de 1.

Answer

L’un des vecteurs est un multiple réel non nul de l’autre.

Question 6

6. Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles. Quelle relation existe entre $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ ?

Ces deux vecteurs sont opposés.

Ces deux vecteurs ont la même norme.

Ces deux vecteurs sont égaux.

Ces deux vecteurs sont colinéaires.

Explication

Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires, ce qui caractérise la relation entre $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ . Avoir la même norme ou être égaux n’est pas nécessaire pour que les droites soient parallèles.

Answer

Ces deux vecteurs sont colinéaires.

Question 7

7. Quel est le rôle des coefficients réels dans l’expression d’une combinaison linéaire de vecteurs ?

Ils précisent le nombre de vecteurs qui peuvent être additionnés dans l’espace.

Ils servent à vérifier si les vecteurs forment une figure géométrique fermée.

Ils indiquent les longueurs des vecteurs sans modifier leur orientation.

Ils déterminent les facteurs appliqués aux vecteurs avant de les additionner.

Explication

Les coefficients réels multiplient chacun des vecteurs, puis les vecteurs ainsi obtenus sont additionnés pour former la combinaison linéaire. Le nombre de vecteurs est indiqué par l’entier n, et non par les coefficients.

Answer

Ils déterminent les facteurs appliqués aux vecteurs avant de les additionner.

Question 8

8. Dans les exemples du cube et du tétraèdre, en quoi les démarches établissant un alignement se ressemblent-elles ?

Elles montrent que deux vecteurs ont la même longueur, ce qui suffit à prouver l’alignement.

Elles vérifient que les trois points forment un triangle dont deux côtés sont perpendiculaires.

Elles établissent que les droites concernées sont parallèles, sans comparer les vecteurs associés.

Elles expriment un vecteur comme multiple réel non nul d’un autre, ce qui établit leur colinéarité.

Explication

Dans les deux configurations, l’expression d’un vecteur comme multiple de l’autre montre que les vecteurs sont colinéaires et permet de conclure à l’alignement. L’égalité des longueurs ne suffit pas à établir la colinéarité, car les directions peuvent différer.

Answer

Elles expriment un vecteur comme multiple réel non nul d’un autre, ce qui établit leur colinéarité.

Question 9

9. Si deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur, quelle conséquence en découle ?

Ils sont égaux.

Ils sont colinéaires, mais leurs longueurs diffèrent.

Ils sont opposés et leur somme est nulle.

Ils représentent des translations de directions différentes.

Explication

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme ; lorsque ces trois caractéristiques coïncident, les vecteurs sont égaux. Des vecteurs colinéaires peuvent avoir des longueurs différentes, ce qui ne suffit donc pas à établir leur égalité.

Answer

Ils sont égaux.

Question 10

10. Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ , quel point final faut-il relier à A ?

Le point C, car les vecteurs se suivent de B à C

Un point D formant un parallélogramme ABDC avec A, B et C

Le point A, car les deux déplacements s’annulent

Le point B, car les deux vecteurs partent de A

Explication

La relation de Chasles permet d’enchaîner les déplacements de A à B puis de B à C : leur somme est représentée par $\overrightarrow{AC}$ . La construction par parallélogramme concerne la somme de deux vecteurs ayant la même origine, comme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ .

Answer

Le point C, car les vecteurs se suivent de B à C

QCM : Vecteurs de l’espace (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux vecteurs non nuls ont la même longueur et la même direction, mais leurs sens sont opposés. Quelle conclusion s’impose ?

2. Dans l’espace, les points P et Q sont confondus. Quel vecteur est associé au couple de points (P, Q) ?

3. On construit le point D de sorte qu'ABDC soit un parallélogramme. Quel vecteur est égal à la somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ?

4. Pour trois points X, Y et Z, une personne se déplace de X à Y, puis de Y à Z. Quel vecteur représente le déplacement total ?

5. Que signifie la colinéarité de deux vecteurs non nuls ?

6. Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles. Quelle relation existe entre $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ ?

7. Quel est le rôle des coefficients réels dans l’expression d’une combinaison linéaire de vecteurs ?

8. Dans les exemples du cube et du tétraèdre, en quoi les démarches établissant un alignement se ressemblent-elles ?

9. Si deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur, quelle conséquence en découle ?

10. Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ , quel point final faut-il relier à A ?

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Questions et réponses du QCM

1. Deux vecteurs non nuls ont la même longueur et la même direction, mais leurs sens sont opposés. Quelle conclusion s’impose ?

2. Dans l’espace, les points P et Q sont confondus. Quel vecteur est associé au couple de points (P, Q) ?

3. On construit le point D de sorte qu'ABDC soit un parallélogramme. Quel vecteur est égal à la somme AB→+AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}AB+AC ?

4. Pour trois points X, Y et Z, une personne se déplace de X à Y, puis de Y à Z. Quel vecteur représente le déplacement total ?

5. Que signifie la colinéarité de deux vecteurs non nuls ?

6. Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles. Quelle relation existe entre MN→\overrightarrow{MN}MN et PQ→\overrightarrow{PQ}PQ​ ?

7. Quel est le rôle des coefficients réels dans l’expression d’une combinaison linéaire de vecteurs ?

8. Dans les exemples du cube et du tétraèdre, en quoi les démarches établissant un alignement se ressemblent-elles ?

9. Si deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur, quelle conséquence en découle ?

10. Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs AB→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}AB+BC, quel point final faut-il relier à A ?

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3. On construit le point D de sorte qu'ABDC soit un parallélogramme. Quel vecteur est égal à la somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ?

6. Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles. Quelle relation existe entre $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ ?

10. Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ , quel point final faut-il relier à A ?