Fiche de révision : Vecteurs de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Définition et égalité des vecteurs
2. Somme et représentants des vecteurs
3. Produit par un réel et colinéarité
4. Alignement et parallélisme
5. Combinaisons linéaires dans l’espace
6. Applications aux configurations géométriques

📖 1. Définition et égalité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur AB : Vecteur de la translation qui transforme A en B dans un plan contenant A et B si A et B sont distincts, et vecteur nul si A et B sont confondus.

📝 Points essentiels

• Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, et deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même longueur.

📖 2. Somme et représentants des vecteurs

★ À maîtriser

📌 Pour tous points A, B et C de l’espace, la relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📌 La somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ est le vecteur $\overrightarrow{AD}$, où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme.

Compléments

• Le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$, et leur somme est le vecteur nul.

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

• Pour tout point A de l’espace et tout vecteur u, il existe un unique point B tel que $\overrightarrow{AB}=\vec u$.

💡 Astuce mémo

Visualiser les vecteurs « bout à bout » ou comme les côtés d’un parallélogramme.

📖 3. Produit par un réel et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls de l’espace sont colinéaires lorsqu’il existe un réel non nul k tel que l’un est égal à k fois l’autre.

★ À maîtriser

📌 Si $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ avec k non nul, alors k positif donne le même sens et $AC=k\,AB$, tandis que k négatif donne des sens opposés et $AC=-k\,AB$.

Compléments

• Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, et le vecteur nul est convenu colinéaire à tous les vecteurs.

💡 Astuce mémo

Coefficient positif : même sens ; coefficient négatif : sens opposé.

📖 4. Alignement et parallélisme

📝 Points essentiels

📌 Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

📌 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

📖 5. Combinaisons linéaires dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de vecteurs $\vec u_1,\ldots,\vec u_n$ est tout vecteur de la forme $\vec v=k_1\vec u_1+\cdots+k_n\vec u_n$, où n est un entier supérieur ou égal à 1 et les coefficients $k_1,\ldots,k_n$ sont réels.

📝 Points essentiels

• Dans un cube, l’égalité $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AG}$ exprime $\overrightarrow{MN}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AG}$.

📖 6. Applications aux configurations géométriques

📝 Points essentiels

• Pour démontrer l’alignement de B, M et H dans l’exemple du cube, on exprime $\overrightarrow{BM}$ en fonction de $\overrightarrow{BH}$ et on obtient $\overrightarrow{BM}=\frac13\overrightarrow{BH}$, donc ces vecteurs sont colinéaires.

• Dans le tétraèdre MNPR, les relations données conduisent à $\overrightarrow{TU}=3\overrightarrow{TS}$, donc les vecteurs $\overrightarrow{TU}$ et $\overrightarrow{TS}$ sont colinéaires et les points T, U et S sont alignés.

💡 Astuce mémo

Exprimer les vecteurs avec Chasles, comparer leurs coefficients, puis conclure à l’alignement.