Fiche de révision : Vecteurs du plan

📋 Plan du Cours

1. Translations et caractéristiques des vecteurs
2. Représentants et égalité des vecteurs
3. Somme et relation de Chasles
4. Opposé et différence de vecteurs
5. Multiplication par un réel

📖 1. Translations et caractéristiques des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Transformation qui associe à tout point M l’unique point M′ tel que les segments [AM′] et [BM] aient le même milieu.
• Vecteur : Vecteur associé à la translation qui transforme A en B et caractérisant le déplacement par sa direction, son sens et sa longueur.

★ À maîtriser

• Un vecteur se caractérise par:
  • sa direction
  • son sens
  • sa longueur, appelée norme

Compléments

• Lorsque A et B sont confondus, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$, et la translation associée laisse chaque point inchangé.

💡 Astuce mémo

DSL : direction, sens, longueur

📖 2. Représentants et égalité des vecteurs

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils définissent la même translation, ce qui signifie qu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

📌 Pour quatre points A, B, C et D, on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Compléments

• Un même vecteur possède une infinité de représentants, car un représentant peut être construit avec une origine quelconque du plan.

• Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AA′}=\overrightarrow{BB′}=\overrightarrow{CC′}$, alors $\overrightarrow{AA′}$, $\overrightarrow{BB′}$ et $\overrightarrow{CC′}$ sont trois représentants du même vecteur.

💡 Astuce mémo

Même translation = même direction, même sens et même longueur

📖 3. Somme et relation de Chasles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de vecteurs : Vecteur de la translation obtenue en enchaînant la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ puis celle de vecteur $\overrightarrow{v}$.

★ À maîtriser

• Pour construire un représentant de $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ d’origine M, on construit d’abord N, image de M par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$, puis P, image de N par la translation de vecteur $\overrightarrow{v}$ ; alors $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

📐 Formule — La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

• Si MPSI est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{PS}$ et $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MS}$.

💡 Astuce mémo

u puis v donne u + v ; AB puis BC donne AC

📖 4. Opposé et différence de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur opposé : Vecteur qui vérifie $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$ et possède la même direction et la même longueur, mais un sens opposé.

★ À maîtriser

📐 Formule — La différence de deux vecteurs est définie par $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})$.

Compléments

• Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l’opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$, car la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ transforme A en B tandis que celle de vecteur $\overrightarrow{BA}$ transforme B en A.

• Pour trois points A, B et C, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.

💡 Astuce mémo

Ajouter l’opposé → soustraire le vecteur

📖 5. Multiplication par un réel

★ À maîtriser

📌 Pour un réel non nul k positif, $k\overrightarrow{u}$ a la même direction et le même sens que $\overrightarrow{u}$, et sa norme vaut k fois celle de $\overrightarrow{u}$.

📌 Pour un réel non nul k négatif, $k\overrightarrow{u}$ a la même direction que $\overrightarrow{u}$, un sens contraire et une norme égale à $-k$ fois celle de $\overrightarrow{u}$.

Compléments

• La multiplication d’un vecteur par un nombre réel conserve toujours sa direction.

• Les relations $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{BA}$ illustrent respectivement un agrandissement de norme avec même sens et un agrandissement avec sens contraire.

💡 Astuce mémo

k positif conserve le sens ; k négatif l’inverse

📊 Tableaux de synthèse

Effet du coefficient réel