QCM : Vecteurs du plan — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise la translation qui transforme le point A en point B ?

Elle associe à M un point M′ tel que [AM′] et [BM] aient le même milieu.
Elle associe à M un point M′ obtenu par une rotation autour du point A.
Elle associe à M un point M′ situé sur la droite AB à la même distance de A et de B.
Elle associe à M un point M′ tel qu'AM = BM′ et que les segments soient perpendiculaires.

Elle associe à M un point M′ tel que [AM′] et [BM] aient le même milieu.

Explication

La translation de A vers B est définie par l’égalité des milieux des segments [AM′] et [BM]. Une rotation, en revanche, transforme les points autour d’un centre selon un angle donné.

2. Quelles informations le vecteur AB→\overrightarrow{AB} fournit-il pour décrire le déplacement de A vers B ?

L’angle de rotation, le centre de rotation et le rayon parcouru.
La position de A, la position de B et leur distance au centre.
Le milieu du segment [AB], son orientation et sa pente.
La direction, le sens et la longueur du déplacement.

La direction, le sens et la longueur du déplacement.

Explication

Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} caractérise le déplacement par sa direction, son sens et sa longueur. L’angle et le centre concernent plutôt une rotation, pas une translation.

3. Un vecteur est représenté par une flèche inclinée vers la droite, allant de son origine vers son extrémité ; que représentent respectivement cette inclinaison, cette orientation du trajet et la longueur de la flèche ?

Le sens, la direction et le milieu.
Le milieu, la norme et l’inclinaison.
La norme, le sens et la direction.
La direction, le sens et la norme.

La direction, le sens et la norme.

Explication

La direction correspond à l’inclinaison de la droite porteuse, le sens va de l’origine vers l’extrémité et la norme est la longueur du segment. Le sens et la direction décrivent donc deux caractéristiques différentes.

4. Dans quelle situation deux vecteurs sont-ils égaux ?

Lorsqu’ils appartiennent au même segment, même avec des longueurs différentes.
Lorsqu’ils ont la même origine, la même direction et des longueurs quelconques.
Lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Lorsqu’ils ont des extrémités communes et des sens opposés.

Lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

Explication

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils définissent la même translation, donc lorsqu’ils possèdent la même direction, le même sens et la même longueur. Ils peuvent avoir des origines différentes, contrairement à deux représentants identiques.

5. Pour quatre points A, B, C et D, quelle condition géométrique équivaut à AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} ?

Les points A, C, B et D sont placés sur une même droite.
Le quadrilatère ABCD est un trapèze ayant deux côtés parallèles.
Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Le quadrilatère ACBD possède deux diagonales de même longueur.

Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Explication

L’égalité AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} est équivalente au fait que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme, y compris dans le cas aplati. La simple présence de côtés parallèles dans un trapèze ne suffit pas à établir cette égalité vectorielle.

6. Comment interpréter la somme de deux vecteurs u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} ?

Comme une translation obtenue en inversant les deux vecteurs et leurs longueurs.
Comme le segment reliant les origines des deux vecteurs additionnés.
Comme une rotation résultant de deux déplacements autour d’un même centre.
Comme la translation obtenue en appliquant d’abord u→\overrightarrow{u} puis v→\overrightarrow{v}.

Comme la translation obtenue en appliquant d’abord $$\overrightarrow{u}$$ puis $$\overrightarrow{v}$$.

Explication

La somme de deux vecteurs correspond à l’enchaînement de la translation de vecteur u→\overrightarrow{u} puis de celle de vecteur v→\overrightarrow{v}. Elle décrit donc une translation composée, et non une rotation.

7. Pour construire un représentant de u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} d’origine M, quel rôle jouent les points N et P ?

N est l’image de M par v→\overrightarrow{v}, puis P est l’image de N par u→\overrightarrow{u}.
N est le milieu de [MP], puis P est l’image de M par les deux translations simultanées.
N est l’image de M par u→\overrightarrow{u}, puis P est l’image de N par v→\overrightarrow{v}.
N est l’image finale après les deux translations, puis P est le point intermédiaire.

N est l’image de M par $$\overrightarrow{u}$$, puis P est l’image de N par $$\overrightarrow{v}$$.

Explication

On applique d’abord u→\overrightarrow{u} à M pour obtenir N, puis v→\overrightarrow{v} à N pour obtenir P ; ainsi, MP→=u→+v→\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}. L’ordre des points intermédiaire et final ne peut donc pas être inversé.

8. Quelle égalité exprime la relation de Chasles pour les points A, B et C ?

AC→+CB→=AB→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
BA→+BC→=AC→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Explication

La relation de Chasles additionne les vecteurs successifs allant de A à B puis de B à C, ce qui donne le vecteur allant directement de A à C. Les autres égalités modifient l’ordre ou le sens des déplacements.

9. Quelle propriété caractérise le vecteur opposé −u→-\overrightarrow{u} d’un vecteur u→\overrightarrow{u} ?

Il a une direction différente et la même longueur, avec le même sens.
Il a la même direction et la même longueur, mais un sens opposé.
Il annule la longueur de u→\overrightarrow{u} sans modifier sa direction.
Il a la même direction et un sens identique, mais une longueur opposée.

Il a la même direction et la même longueur, mais un sens opposé.

Explication

Le vecteur opposé conserve la direction et la longueur de u→\overrightarrow{u}, mais inverse son sens, et leur somme vaut 0→\overrightarrow{0}. Un vecteur opposé ne change donc ni la direction ni la longueur, contrairement aux autres propositions.

10. Comment réécrire la différence u→−v→\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} à l’aide d’une addition vectorielle ?

(−u→)+(−v→)(-\overrightarrow{u})+(-\overrightarrow{v})
u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}
u→+(−v→)\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})
(−u→)+v→(-\overrightarrow{u})+\overrightarrow{v}

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})$$

Explication

Soustraire v→\overrightarrow{v} revient à ajouter son vecteur opposé, ce qui donne u→+(−v→)\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v}). La proposition avec deux vecteurs opposés correspondrait à l’opposé de leur somme, et non à la différence demandée.

11. Si kk est positif et non nul, quelles sont les caractéristiques de ku→k\overrightarrow{u} par rapport à u→\overrightarrow{u} ?

Il conserve le sens, mais sa direction devient perpendiculaire et sa norme est divisée par kk.
Il conserve la direction et le sens, tandis que sa norme est multipliée par kk.
Il conserve la direction, inverse le sens, et sa norme est multipliée par kk.
Il change de direction, conserve le sens, et sa norme devient égale à celle de u→\overrightarrow{u}.

Il conserve la direction et le sens, tandis que sa norme est multipliée par $$k$$.

Explication

Un coefficient positif non nul conserve la direction et le sens du vecteur, tout en multipliant sa norme par kk. L’inversion du sens est associée à un coefficient négatif, et non à un coefficient positif.

12. Pour un réel négatif non nul kk, comment se comporte le vecteur ku→k\overrightarrow{u} ?

Il garde la direction, inverse le sens et a une norme égale à −k-k fois celle de u→\overrightarrow{u}.
Il garde le sens, change de direction et a une norme égale à −k-k fois celle de u→\overrightarrow{u}.
Il change de direction, inverse le sens et garde la même norme que u→\overrightarrow{u}.
Il garde la direction et le sens, avec une norme égale à kk fois celle de u→\overrightarrow{u}.

Il garde la direction, inverse le sens et a une norme égale à $$-k$$ fois celle de $$\overrightarrow{u}$$.

Explication

Lorsque k<0k<0, la direction est conservée, le sens est inversé et la norme est multipliée par la valeur positive −k-k. La quantité kk elle-même ne peut pas représenter une norme, car elle est négative.

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Qu'est-ce qu'une translation qui transforme A en B ?

C'est une transformation associant à tout point M un point M' tel que [AM'] et [BM] ont le même milieu.

Comment est noté le vecteur associé à la translation de A en B ?

Il est noté AB→\overrightarrow{AB}.

Quelles caractéristiques définit un vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

Sa direction, son sens et sa longueur.

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