Fiche de révision : Vecteurs du plan

📋 Plan du Cours

1. Translation et caractéristiques des vecteurs
2. Égalité et représentants des vecteurs
3. Vecteur nul et image par translation
4. Somme et règles d’addition
5. Opposé et différence de vecteurs
6. Produit d’un vecteur par un réel
7. Calculs avec les vecteurs

📖 1. Translation et caractéristiques des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation de vecteur : La translation qui transforme A en B, pour deux points distincts A et B, est appelée translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

★ À maîtriser

• Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par la direction de la droite (AB), le sens de A vers B et la longueur AB, appelée norme et notée $\|\overrightarrow{AB}\|$.

Compléments

• Le terme « vecteur » est dû au mathématicien irlandais William Rowan Hamilton (1805-1865).

• La notation $\overrightarrow{AB}$ ne sera adoptée que vers 1960.

📖 2. Égalité et représentants des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs égaux : Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux lorsque D est l’image de C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

★ À maîtriser

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

Compléments

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.

• Des représentants d’un même vecteur ont même direction, même sens et même longueur.

📌 I est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.

📖 3. Vecteur nul et image par translation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur non nul : Un vecteur non nul $\vec{u}$ est défini par une direction, donnée par une droite, un sens donné par la flèche et une norme $\|\vec{u}\|$ correspondant à sa longueur.
• Vecteur nul : Lorsque A et B sont confondus, $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul, noté $\vec{0}$, associé à la translation qui transforme A en A.

★ À maîtriser

📌 L’image d’un point M par la translation de vecteur $\vec{u}$ est le point M′ tel que $\overrightarrow{MM′}=\vec{u}$.

Compléments

• Le vecteur nul n’a ni direction ni sens et sa norme est égale à 0.

📖 4. Somme et règles d’addition

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de deux vecteurs : En enchaînant la translation de vecteur $\vec{u}$ puis celle de vecteur $\vec{v}$, on obtient une translation de vecteur associé $\vec{u}+\vec{v}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous les points A, B et C du plan, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📌 Pour tous les points A, B, C et D, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

📐 Formule - L’addition des vecteurs est commutative : $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$.

📐 Formule - L’addition des vecteurs est associative : $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$.

📐 Formule - Le vecteur nul est neutre pour l’addition : $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$.

📖 5. Opposé et différence de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur opposé : Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l’opposé de $\overrightarrow{AB}$, noté $-\overrightarrow{AB}$, et leur somme est le vecteur nul.
• Différence de vecteurs : La différence $\vec{u}-\vec{v}$ est le vecteur $\vec{u}+(-\vec{v})$.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme, mais des sens contraires.

📖 6. Produit d’un vecteur par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit par un réel : Le produit du vecteur $\vec{u}$ par le réel k est le vecteur $k\vec{u}$.

★ À maîtriser

📌 Si k est positif, $k\vec{u}$ a le même sens que $\vec{u}$ ; si k est négatif, il a le sens contraire.

📐 Formule - Pour k non nul et $\vec{u}\ne\vec{0}$, la norme du produit vérifie $\|k\vec{u}\|=|k|\times\|\vec{u}\|$.

Compléments

• Si $\vec{u}\ne\vec{0}$ et k est non nul, $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$.

📌 Si k vaut 0 ou si $\vec{u}=\vec{0}$, alors $k\vec{u}=\vec{0}$.

💡 Astuce mémo

k positif conserve le sens ; k négatif l’inverse.

📖 7. Calculs avec les vecteurs

★ À maîtriser

📌 Le produit $k\vec{u}$ est nul si et seulement si k vaut 0 ou si $\vec{u}=\vec{0}$.

📐 Formule - La multiplication par un réel distribue sur une somme de vecteurs : $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$.

Compléments

📐 Formule - Les multiplications scalaires successives vérifient $k(k'\vec{u})=(kk')\vec{u}$.

📐 Formule - La somme de deux réels multipliant un même vecteur vérifie $(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}$.

• La multiplication par 1 laisse un vecteur inchangé : $1\vec{u}=\vec{u}$.

• La multiplication par −1 donne le vecteur opposé : $-1\vec{u}=-\vec{u}$.