QCM : Vecteurs du plan (11 questions)

Question 1

1. Un vecteur non nul relie deux points P et Q. Pour le décrire complètement, quelles caractéristiques faut-il préciser ?

La direction de (PQ), le sens de Q vers P et la longueur PQ

Le sens de P vers Q, la longueur PQ et la position de P

La direction de (PQ), le sens de P vers Q et le milieu de [PQ]

La direction de (PQ), le sens de P vers Q et la longueur PQ

Explication

Un vecteur est caractérisé par la direction de sa droite support, son sens et sa norme, égale à la longueur PQ. Inverser le sens, remplacer la norme par une position ou par un milieu ne décrit pas ces trois caractéristiques.

Answer

La direction de (PQ), le sens de P vers Q et la longueur PQ

Question 2

2. Quelle translation associe-t-on au vecteur $\overrightarrow{MN}$ lorsque M et N sont distincts ?

La translation qui transforme un point quelconque sur la droite (MN)

La translation qui transforme M en lui-même

La translation qui transforme N en M

La translation qui transforme M en N

Explication

Par définition, $\overrightarrow{MN}$ est le vecteur de la translation qui envoie M sur N. Le déplacement de N vers M inverse le sens, la translation de M vers lui-même est nulle, et la droite seule ne fixe pas un déplacement.

Answer

La translation qui transforme M en N

Question 3

3. Une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ envoie le point C sur le point D. Quelle égalité de vecteurs peut-on en déduire ?

\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BD}

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

Explication

Deux vecteurs sont égaux lorsque l’extrémité du second est l’image de son origine par la translation associée au premier : ici, C est envoyé sur D, donc $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{DC}$ inverse le déplacement, tandis que les autres égalités ne traduisent pas cette image.

Answer

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$$

Question 4

4. Dans un quadrilatère dont les sommets sont nommés dans l’ordre A, B, D, C, quelle condition géométrique équivaut à $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ?

AC et BD sont parallèles

ABDC est un parallélogramme avec

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}

ABCD est un parallélogramme

ABDC est un parallélogramme

Explication

L’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut à la propriété qu'ABDC est un parallélogramme, en respectant l’ordre particulier des sommets. Nommer ABCD change l’ordre, le parallélisme des diagonales ne suffit pas et le vecteur $\overrightarrow{DC}$ inverse le sens de CD.

Answer

ABDC est un parallélogramme

Question 5

5. Que représente le vecteur $\overrightarrow{AA}$ lorsque les points de départ et d’arrivée sont confondus ?

Un vecteur opposé à un vecteur non nul de même direction

Un vecteur de norme positive dont le sens dépend du choix de A

Un vecteur dont la direction est celle d’une droite passant par A

Le vecteur nul, associé à la translation qui laisse A invariant

Explication

Lorsque les deux extrémités coïncident, $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul, et la translation correspondante transforme A en lui-même. Un vecteur nul n’a ni direction ni sens, contrairement à un vecteur non nul.

Answer

Le vecteur nul, associé à la translation qui laisse A invariant

Question 6

6. Quelle propriété de l’addition des vecteurs permet d’échanger l’ordre de deux vecteurs sans changer leur somme ?

La relation de Chasles donne :

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

.

L’addition est associative :

\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}

.

Le vecteur nul est neutre :

\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}

.

L’addition est commutative :

\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}

.

Explication

La commutativité signifie que permuter les deux vecteurs ne modifie pas leur somme. L’associativité change le regroupement des vecteurs, mais pas leur ordre.

Answer

L’addition est commutative : $$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$$.

Question 7

7. Quel rôle joue l’opposé de $\vec{v}$ dans l’expression de la différence $\vec{u}-\vec{v}$ ?

Il permet d’écrire la différence comme la somme de

-\vec{u}

et de

\vec{v}

.

Il permet d’écrire la différence comme la somme de

\vec{u}

et de

-\vec{v}

.

Il permet de remplacer la différence par la somme de

\vec{u}

et de

\vec{v}

.

Il permet d’écrire la différence comme la somme de

\vec{u}

et du vecteur nul.

Explication

L’opposé de $\vec{v}$ transforme la soustraction en addition : $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$ . Ajouter $\vec{v}$ plutôt que son opposé correspondrait à une somme, et non à la différence demandée.

Answer

Il permet d’écrire la différence comme la somme de $$\vec{u}$$ et de $$-\vec{v}$$.

Question 8

8. Pour un vecteur non nul $\vec{u}$ multiplié par un réel non nul $k$ , comment la norme de $k\vec{u}$ dépend-elle de celle de $\vec{u}$ ?

Elle est divisée par la valeur absolue de

k

.

Elle reste égale à la norme de

\vec{u}

.

Elle est multipliée par

k

, avec un signe qui dépend de

k

.

Elle est multipliée par la valeur absolue de

k

.

Explication

La norme est une longueur : elle est donc multipliée par la valeur absolue du réel, soit $\|k\vec{u}\|=|k|\times\|\vec{u}\|$ . Le signe de $k$ change le sens du vecteur si $k$ est négatif, mais ne rend pas sa norme négative.

Answer

Elle est multipliée par la valeur absolue de $$k$$.

Question 9

9. En quoi les règles $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ et $(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}$ diffèrent-elles ?

La première combine deux réels sur un vecteur, tandis que la seconde distribue un réel sur deux vecteurs.

La première décrit des multiplications scalaires successives, tandis que la seconde exprime l’effet du réel 1 sur un vecteur.

La première établit que deux vecteurs opposés ont une somme nulle, tandis que la seconde définit la différence de vecteurs.

La première distribue un réel sur une somme de vecteurs, tandis que la seconde répartit une somme de réels sur un même vecteur.

Explication

La première règle montre que multiplier une somme de vecteurs par un réel revient à multiplier chaque vecteur par ce réel. La seconde concerne plutôt l’addition de deux réels qui multiplient un même vecteur, et non la somme initiale de deux vecteurs.

Answer

La première distribue un réel sur une somme de vecteurs, tandis que la seconde répartit une somme de réels sur un même vecteur.

Question 10

10. Si l’on inverse le sens d’une translation qui transforme A en B, quelle conséquence cela a-t-il sur le sens du vecteur associé ?

Le vecteur associé conserve le sens de A vers B.

Le vecteur associé perd sa direction et son sens.

Le vecteur associé garde son sens mais change de longueur.

Le vecteur associé prend le sens de B vers A.

Explication

Inverser le déplacement de A vers B donne le déplacement de B vers A, dont le vecteur a le sens opposé. La direction reste celle de la droite (AB), mais le sens ne demeure pas inchangé.

Answer

Le vecteur associé prend le sens de B vers A.

Question 11

11. Pour vérifier géométriquement que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ , quelle figure faut-il reconnaître avec les sommets placés dans l’ordre indiqué ?

Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Les segments [AB] et [CD] se coupent en leur milieu.

Le triangle ABC est isocèle en B.

Explication

L’égalité des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ équivaut au fait qu'ABDC est un parallélogramme. Le quadrilatère ABCD avec cet ordre des sommets ne représente pas cette condition d’égalité.

Answer

Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

QCM : Vecteurs du plan (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un vecteur non nul relie deux points P et Q. Pour le décrire complètement, quelles caractéristiques faut-il préciser ?

2. Quelle translation associe-t-on au vecteur $\overrightarrow{MN}$ lorsque M et N sont distincts ?

3. Une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ envoie le point C sur le point D. Quelle égalité de vecteurs peut-on en déduire ?

4. Dans un quadrilatère dont les sommets sont nommés dans l’ordre A, B, D, C, quelle condition géométrique équivaut à $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ?

5. Que représente le vecteur $\overrightarrow{AA}$ lorsque les points de départ et d’arrivée sont confondus ?

6. Quelle propriété de l’addition des vecteurs permet d’échanger l’ordre de deux vecteurs sans changer leur somme ?

7. Quel rôle joue l’opposé de $\vec{v}$ dans l’expression de la différence $\vec{u}-\vec{v}$ ?

8. Pour un vecteur non nul $\vec{u}$ multiplié par un réel non nul $k$ , comment la norme de $k\vec{u}$ dépend-elle de celle de $\vec{u}$ ?

9. En quoi les règles $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ et $(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}$ diffèrent-elles ?

10. Si l’on inverse le sens d’une translation qui transforme A en B, quelle conséquence cela a-t-il sur le sens du vecteur associé ?

11. Pour vérifier géométriquement que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ , quelle figure faut-il reconnaître avec les sommets placés dans l’ordre indiqué ?

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QCM : Vecteurs du plan (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un vecteur non nul relie deux points P et Q. Pour le décrire complètement, quelles caractéristiques faut-il préciser ?

2. Quelle translation associe-t-on au vecteur MN→\overrightarrow{MN}MN lorsque M et N sont distincts ?

3. Une translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}AB envoie le point C sur le point D. Quelle égalité de vecteurs peut-on en déduire ?

4. Dans un quadrilatère dont les sommets sont nommés dans l’ordre A, B, D, C, quelle condition géométrique équivaut à AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}AB=CD ?

5. Que représente le vecteur AA→\overrightarrow{AA}AA lorsque les points de départ et d’arrivée sont confondus ?

6. Quelle propriété de l’addition des vecteurs permet d’échanger l’ordre de deux vecteurs sans changer leur somme ?

7. Quel rôle joue l’opposé de v⃗\vec{v}v dans l’expression de la différence u⃗−v⃗\vec{u}-\vec{v}u−v ?

8. Pour un vecteur non nul u⃗\vec{u}u multiplié par un réel non nul kkk, comment la norme de ku⃗k\vec{u}ku dépend-elle de celle de u⃗\vec{u}u ?

9. En quoi les règles k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}k(u+v)=ku+kv et (k+k′)u⃗=ku⃗+k′u⃗(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}(k+k′)u=ku+k′u diffèrent-elles ?

10. Si l’on inverse le sens d’une translation qui transforme A en B, quelle conséquence cela a-t-il sur le sens du vecteur associé ?

11. Pour vérifier géométriquement que AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}AB=CD, quelle figure faut-il reconnaître avec les sommets placés dans l’ordre indiqué ?

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2. Quelle translation associe-t-on au vecteur $\overrightarrow{MN}$ lorsque M et N sont distincts ?

3. Une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ envoie le point C sur le point D. Quelle égalité de vecteurs peut-on en déduire ?

4. Dans un quadrilatère dont les sommets sont nommés dans l’ordre A, B, D, C, quelle condition géométrique équivaut à $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ?

5. Que représente le vecteur $\overrightarrow{AA}$ lorsque les points de départ et d’arrivée sont confondus ?

7. Quel rôle joue l’opposé de $\vec{v}$ dans l’expression de la différence $\vec{u}-\vec{v}$ ?

8. Pour un vecteur non nul $\vec{u}$ multiplié par un réel non nul $k$ , comment la norme de $k\vec{u}$ dépend-elle de celle de $\vec{u}$ ?

9. En quoi les règles $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ et $(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}$ diffèrent-elles ?

11. Pour vérifier géométriquement que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ , quelle figure faut-il reconnaître avec les sommets placés dans l’ordre indiqué ?